人教A版数学高一（上）期末提分专题复习10 三角函数的应用

更新时间：2023-12-26 浏览次数：45 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2023高一下·广东月考) 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点 $\text{[math]}$ ．若初始位置为点 $\text{[math]}$ ，秒针从 $\text{[math]}$ （规定此时 $\text{[math]}$ ）开始沿顺时针方向转动，若点P的纵坐标为y， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 时t的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·湖北月考) 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为 $\text{[math]}$ ，但当气温上升到 $\text{[math]}$ 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时 $\text{[math]}$ 时的气温 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与时间 $\text{[math]}$ （单位：小时）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ，则在6时 $\text{[math]}$ 时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 6.7时 $\text{[math]}$ 时 B . 6.7时 $\text{[math]}$ 时 C . 8.7时 $\text{[math]}$ 时 D . 8.7时 $\text{[math]}$ 时

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3. (2022高三上·江西月考) “寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别为标杆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在地面的影长，再按影长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记 $\text{[math]}$ ，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（）

A . $\text{[math]}$ 里 B . $\text{[math]}$ 里 C . $\text{[math]}$ 里 D . $\text{[math]}$ 里

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4. (2022高二上·江西开学考) 江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线 $\text{[math]}$ ，将自制测量仪器分别放置于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两处进行测量.如图，测量仪器高 $\text{[math]}$ m，点 $\text{[math]}$ 与滕王阁顶部平齐，并测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据 $\text{[math]}$ ）（）

A . 50m B . 55.5m C . 57.4m D . 60m

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5. (2022高二下·杭州期末) 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知当 $\text{[math]}$ 时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在 $\text{[math]}$ 秒时h的值为（）

A . -2 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高一下·喀什期中) 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，则岳阳楼的高度CD为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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7. (2022高一上·怀仁期末) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），M是函数 $\text{[math]}$ 图象的一个最高点，K，N是函数图象上与它距离最近的两个对称中心， $\text{[math]}$ 是边长为1的正三角形， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. (2022高一上·平顶山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022高一上·武汉期末) 如图，摩天轮上一点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时刻距离地面的高度满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知某摩天轮的半径为50米，点 $\text{[math]}$ 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点 $\text{[math]}$ 的起始位置在摩天轮的最低点，则 $\text{[math]}$ （米）关于 $\text{[math]}$ （分钟）的解析式为（）

A . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） B . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） C . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

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10. (2022高一上·海安期末) 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬 $\text{[math]}$ ）在某地利用一表高为 $\text{[math]}$ 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为 $\text{[math]}$ ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

11. (2022高一下·江西期中) 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A . 点Q距离水平地面的高度与时间的函数为 $\text{[math]}$ B . 点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 $\text{[math]}$ C . 经过10分钟点Q距离地面35米 D . 摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟

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12. (2022高一下·湖北期中) 某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，方案二： $\text{[math]}$ 在圆弧上且 $\text{[math]}$ ．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（）

A . 两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米 B . 两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米 C . 方案二中整个工程造价最低为 $\text{[math]}$ 万元 D . 两个方案中整个工程造价最高为 $\text{[math]}$ 万元

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13. (2022高一上·浙江月考) 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中 $\text{[math]}$ ）开始计时，则（）

A . 点P第一次达到最高点，需要20秒 B . 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C . 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D . 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $\text{[math]}$

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14. (2022高一上·嘉兴期末) 血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压 $\text{[math]}$ 或舒张压 $\text{[math]}$ ，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起， $\text{[math]}$ ），他的血压 $\text{[math]}$ （单位：）与经过的时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）满足关系式 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 血压 $\text{[math]}$ 的最小正周期为6 B . 当天下午 $\text{[math]}$ 点小王的血压为105 C . 当天小王有高血压 D . 当天小王的收缩压与舒张压之差为44

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15. (2021高二上·重庆月考) 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点 $\text{[math]}$ ．若初始位置为点 $\text{[math]}$ ，秒针从 $\text{[math]}$ （规定此时 $\text{[math]}$ ）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

16. (2023高一下·南阳期中) 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 $\text{[math]}$ （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为℃.

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17. (2022高三上·临沂期中) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转 $\text{[math]}$ 分钟后距离地面的高度为 $\text{[math]}$ 米，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为；若游客甲在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时刻距离地面的高度相等，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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18. (2022高二上·月考) 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两次反弹后击打目标球N，点M到 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ，点N到 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 $\text{[math]}$ ．

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19. (2022高一下·广州期中) 在平面直角坐标系xOy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角 $\text{[math]}$ ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的 $\text{[math]}$ 倍得到 $\text{[math]}$ ，我们把这个过程称为对点P进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，例如对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ．若对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为；若对点 $\text{[math]}$ 进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，对点 $\text{[math]}$ 再进行一次 $\text{[math]}$ 变换得到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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20. (2024高一下·曲阳开学考) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为 $\text{[math]}$ ，到达最高点时，距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，能看到方圆 $\text{[math]}$ 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $\text{[math]}$ .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到 $\text{[math]}$ 后距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，则转到 $\text{[math]}$ 后距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，在转动一周的过程中， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为.

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21. (2020高一下·海淀期中) 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 $\text{[math]}$ 来表示.已知 $\text{[math]}$ 月份的平均气温最高，为 $\text{[math]}$ ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为℃.

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22. (2019高三上·吴中月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图像恰有四个公共点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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23. (2019高一上·南通月考) 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 $\text{[math]}$ 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 $\text{[math]}$ ，12月份的月平均气温最低，为 $\text{[math]}$ ，则10月份的平均气温值为 $\text{[math]}$ ．

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24. 若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r²成反比）

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25. 在同一平面直角坐标系中，函数y=cos( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ 的图象和直线y= $\text{[math]}$ 的交点个数是个

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四、解答题

26. (2023高一下·惠州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 是D上的P级周期函数，周期为T.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的P级周期函数，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的严格增函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .求当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的解析式，并求实数P的取值范围；
3. （3）是否存在非零实数k，使函数 $\text{[math]}$ 是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
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27. (2023高一下·黄浦期末) 某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心、 $\text{[math]}$ 为半径的四分之一圆及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 圈成的区域为水池，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为两条小路，且 $\text{[math]}$ 所在直线与圆弧相切．已知 $\text{[math]}$ 米，设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），那么当 $\text{[math]}$ 为多少时，才能使两条小路长之和 $\text{[math]}$ 最小？最小长度是多少？

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28. (2023高一下·苏州期中) 如图，一个直径为 $\text{[math]}$ 的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心 $\text{[math]}$ 距离水面的高度为 $\text{[math]}$ ，水车上的盛水筒 $\text{[math]}$ 到水面的距离为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）（在水面下则 $\text{[math]}$ 为负数），若以盛水筒 $\text{[math]}$ 刚浮出水面时开始计时，则 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）之间的关系为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数解析式；
2. （2）求在一个旋转周期内，盛水筒 $\text{[math]}$ 在水面以上的时长.
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29. (2023高一下·南山月考) 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $\text{[math]}$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为 $\text{[math]}$ （可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为 $\text{[math]}$ 分钟．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求1号座舱与地面的距离；
2. （2）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为 $\text{[math]}$ 米，若在 $\text{[math]}$ 这段时间内， $\text{[math]}$ 恰有三次取得最大值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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30. (2023高一上·益阳期末) 一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $\text{[math]}$ ）开始计算时间．
1. （1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
2. （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
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