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备考2024年高考数学提升专题特训：平面解析几何

更新时间：2024-02-22 浏览次数：15 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2024高二上·密山期末) 如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，且 $\text{[math]}$ ，试求：
1. （1）点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角.
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2. (2024高三上·海南高考模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上､下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上（不与 $\text{[math]}$ 重合），且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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3. (2024高三上·拉萨高考模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以左边原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程以及曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）过直线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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4. (2024高三上·青海宁夏模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别是 $\text{[math]}$ ，证明：线段 $\text{[math]}$ 的中点为定点.
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5. (2024高三上·香坊期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为4，且与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共的焦点.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上的任意一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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6. (2023高二上·鹤山月考) 已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 边上的中线所在直线的方程；
2. （2）求经过点 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 轴上的截距和 $\text{[math]}$ 轴上的截距相等的直线的方程.
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7. (2023高二上·成都月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点M满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设圆 $\text{[math]}$ ，若直线l过圆 $\text{[math]}$ 的圆心且与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程.
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8. (2023高二上·成都月考) 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过?

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9. (2023高二上·武汉月考) 已知圆C： $\text{[math]}$ ．
1. （1）设点 $\text{[math]}$ ，过点M作直线l与圆C交于A ， B两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程；
2. （2）设P是直线 $\text{[math]}$ 上的点，过P点作圆C的切线PA ， PB ，切点为A ， B ，求证：经过A ， P ， C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
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10. (2024·天津市模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且圆心 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
3. （3） $\text{[math]}$ 为圆上任意一点，在(1)的条件下，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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11. (2023高二上·东莞月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程及其焦点坐标、准线方程；
2. （2）过抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一条切线，切点为 $\text{[math]}$ ，求切线长 $\text{[math]}$ 的最小值.
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12. (2023高二上·成都月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 左焦点 $\text{[math]}$ 、右顶点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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13. (2024·荆州市模拟) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且顶点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ .已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右两支的交点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线的交点为 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的右侧.设 $\text{[math]}$ 的面积分别是 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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14. (2024高三上·拉萨高考模拟) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点为 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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15. (2024高二上·亳州期末) 已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
1. （1）求C的方程；
2. （2）若过点F的直线与C交于不同的两点A ， B ，且 $\text{[math]}$ ，求直线AB的方程．
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16. (2024高三上·保定期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ， M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点 $\text{[math]}$ 距离的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）已知过点 $\text{[math]}$ 的直线l交椭圆C于A ， B两点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求此时直线l的方程．
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17. (2024高三上·香坊期末) “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是 $\text{[math]}$ ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 $\text{[math]}$ ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 $\text{[math]}$ ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点 $\text{[math]}$ 到圆心 $\text{[math]}$ 的距离为4，按上述方法折纸.以点 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，线段 $\text{[math]}$ 中点为原点建立平面直角坐标系.
1. （1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段 $\text{[math]}$ 交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
2. （2）记（1）问所得图形为曲线 $\text{[math]}$ ，若过点 $\text{[math]}$ 且不与 $\text{[math]}$ 轴垂直的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
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18. (2024高二上·邢台期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的长轴长是短轴长的 $\text{[math]}$ 倍.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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