高中数学三轮复习（直击痛点）：专题20抛物线的焦点弦问题

更新时间：2024-02-23 浏览次数：12 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二上·闽清月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·绵阳高考模拟) 若点 $\text{[math]}$ 在焦点为 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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3. (2024高三上·拉萨高考模拟) 已知拋物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 5

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4. (2024高三上·青海宁夏模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的两点，且直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 12 B . 14 C . 16 D . 18

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5. (2024·大湾区模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 恒过抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点F ，且与C交于点A ， B ，过线段AB的中点D作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为E ，记直线EA ， EB ， EF的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·辽源期末) 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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7. (2023高二上·武汉月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·黔东南模拟) $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上异于坐标原点 $\text{[math]}$ 的一点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该抛物线的焦点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 12 B . 11 C . 10 D . 9

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9. (2023高二上·云浮月考) 已知点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 相等，且点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为12，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 6 B . 9 C . 12 D . 15

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二、多项选择题

10. (2023高二上·成都月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点（均不与坐标原点 $\text{[math]}$ 重合），且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 两点的纵坐标之积为-64 D . 直线 $\text{[math]}$ 恒过点 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·海南高考模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 的准线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率之和为0 C . $\text{[math]}$ 内切圆圆心不可能在 $\text{[math]}$ 轴上 D . 当直线 $\text{[math]}$ 的斜率为1时， $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·辽源期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的周长为16 C . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. (2023高二上·武汉月考) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点，直线 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的准线，则（）

A . $\text{[math]}$ 有可能为锐角 B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 相切 C . $\text{[math]}$ 的最小值为32 D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 面积之和最小值为32

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14. (2023高三上·重庆市月考) 设抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线为 $\text{[math]}$ . 点A ， B是抛物线C上不同的两点，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆必与准线相切 C . 线段 $\text{[math]}$ 的长为定值 D . 线段 $\text{[math]}$ 的中点 E 到准线的距离为定值

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15. (2023高三上·梅河口月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ， C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设 $\text{[math]}$ 的中点为M，过M作 $\text{[math]}$ 的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 最小值为p D . $\text{[math]}$

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三、填空题

16. (2024高三上·昌乐模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M ， N两点，则p=， $\text{[math]}$ 的最小值为．

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17. (2024·南宁模拟) 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F ，斜率为1的直线l过F与C交于A ， B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝．

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18. (2024高三上·台州模拟) 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ （不为原点）作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，过坐标原点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点）与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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19. (2024高三上·广州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，点M在C上， $\text{[math]}$ 轴，若 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）的面积为2，则 $\text{[math]}$ .

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20. (2023高二上·丰台月考) 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为；点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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21. (2023高三上·广州月考) 已知抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF⊥x轴，若△OFM(O为坐标原点)的面积为2，则P=.

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四、解答题

22. (2024·九省高考模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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23. (2024高二上·重庆市期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点且三角形MOF的面积为 $\text{[math]}$ （其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P ， Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M ，过点M作 $\text{[math]}$ 交PQ于点N.
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
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24. (2024·大湾区模拟) 设A ， B为抛物线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）上两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M ， N两点（异于点O），以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点O ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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25. (2024高二上·邢台期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，且A ， B ， C三个不同的点均在 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）若直线AB的方程为 $\text{[math]}$ ，且点F为 $\text{[math]}$ 的重心，求p的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，直线AB经过点 $\text{[math]}$ ，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且 $\text{[math]}$ ，求点D的轨迹方程.
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26. (2024高三上·成都模拟) 在平面直角坐标系中，动点C到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等.
1. （1）求动点C的轨迹方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与动点C的轨迹交于P ， Q两点，当 $\text{[math]}$ 的面积为2时，求直线l的方程.
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