备考2024年中考数学计算能力训练10 解一元二次方程

更新时间：2024-04-21 浏览次数：42 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2024九上·岳阳期末) 把方程 x²+6x -5 = 0化成 (x+m)²=n的形式，则 m+n的值为（）

A . 17 B . 14 C . 11 D . 7

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2. (2024九上·海淀月考) 将方程 $\text{[math]}$ 配方后，原方程可变形为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·从江月考) 若关于x的一元二次方程x²+(k+3)x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）

A . 2 B . 1 C . -1 D . 0

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4. (2024八下·雨花期末) 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2或6 B . 2或8 C . 2 D . 6

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5. (2023九上·贵阳月考) 已知x=1是一元二次方程（m-2）x²+4x-m²=0的一个根，则m的值为（）．

A . -1或2 B . -1 C . 2 D . 0

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6. (2024·深圳模拟) 关于 x 的方程 x（x-1）=3（x-1），下列解法完全正确的是（）

甲	乙	丙	丁
两边同时除以（x-1）得到x=3．	移项得x（x-1）+3（x-1）=0， ∴（x-1）（x+3）=0， ∴x-1=0或x+3=0， ∴x₁=1，x₂=-3．	整理得x²-4x=-3， ∵a=1，b=-4，c=-3， ∴Δ=b²-4ac=28， ∴x= $\text{[math]}$ ， ∴x₁= $\text{[math]}$ ， x₂= $\text{[math]}$ ．	整理得x²-4x=-3，配方得x²-4x+4=1， ∴（x-2）²=1， ∴x-2=±1， ∴x₁=1，x₂=3．

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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7. (2024九上·四平期末) 若一元二次方程（x+6）²＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　）

A . x﹣6＝﹣8 B . x﹣6＝8 C . x+6＝8 D . x+6＝﹣8

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8. (2024九上·凤山期末) 对于实数a ， b定义运算“※”为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，则关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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9. (2023九上·滕州开学考) 已知多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 下列说法正确的个数为（）
$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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10. (2024九下·广平模拟) 对于两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中较大的数，如 $\text{[math]}$ ，按这个规定，方程 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或-1

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二、填空题

11. (2023九上·铜梁月考)
如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为．

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12. (2024九上·内江期末) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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13. (2023九上·武侯月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ．若等腰三角形 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ ，另两边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023九上·新会期末) 对于两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中较大的数，如： $\text{[math]}$ ．
1. （1）方程 $\text{[math]}$ 的解为；
2. （2）方程 $\text{[math]}$ 的解为．
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15. (2024九上·望奎期末) 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为．

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16. (2023九上·沙洋期中) 已知关于x的方程a（x+m）²+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x₁＝3和x₂＝7，则方程a(x+m+2)²⁺b=0的解是．

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17. (2020九上·简阳月考) 阅读理解：对于 $\text{[math]}$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$\text{[math]}$ 理解运用：如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，

即有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，

因此，方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的所有解就是方程 $\text{[math]}$ 的解.

解决问题：求方程 $\text{[math]}$ 的解为.

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18. (2022九上·晋江月考) 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足数轴上x₁ ， x₂所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）
①方程x²﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax²＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x₁＝3x₂ ，关于x的方程px²﹣x $\text{[math]}$ 0是关于2的等距方程．

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三、计算题

19. (2024九上·乌鲁木齐期末) 解方程：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ；
3. （3） $\text{[math]}$ ；
4. （4） $\text{[math]}$ ．
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20. (2023九上·溆浦期中) 用适当的方法解方程.
1. （1） $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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21. (2024九上·金沙期末) 按要求解下列方程：
1. （1） $\text{[math]}$ （因式分解法）；
2. （2） $\text{[math]}$ （公式法）．
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22. (2024九上·黔南期末) 用适当的方法解下列方程；
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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23. 已知实数a满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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四、解答题

24. (2023九上·武侯月考) 已知关于x的一元二次方程x²+（2a+1）x+a²＝0．
1. （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
2. （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根．
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25. (2024九上·吴桥期末) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求一元二次方程的根；
2. （2）求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求方程的另一个根．
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26. (2023九上·忻州期中) 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： $\text{[math]}$ ．
解：第一步 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，第二步
$\text{[math]}$ ，第三步
$\text{[math]}$ ，第四步
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，第五步
$\text{[math]}$ ．第六步
1. （1）任务一：小颖解方程的方法是（填字母）；
  A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
2. （2）解方程过程中，第二步变形的依据是．
3. （3）请你用“公式法”解该方程．
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27. (2022九上·东城期末) 下面是小聪同学用配方法解方程： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
$\text{[math]}$
解：移项，得： $\text{[math]}$ ． ①
二次项系数化为1，得： $\text{[math]}$ ． ②
配方，得 $\text{[math]}$ ． ③
即 $\text{[math]}$ .
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ． ④
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． ⑤
1. （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
2. （2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
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五、实践探究题

28. (2023九上·茶山期中) 定义：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
1. （1）下面方程是“完美方程”的是．（填序号）①x²-4x+3＝0；②2x²+x+3＝0；③2x²-x-3＝0．
2. （2）已知3x²+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
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29. (2023九上·通榆期中) 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：

复习日记卡片

内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日

举例：求一元二次方程x²﹣x﹣2＝0的两个解

方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解

解方程：x²﹣x﹣2＝0．

解：

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解

如图所示，把方程x²﹣x﹣2＝0的解看成是二次函数y＝ ▲ 的图象与x轴交点的横坐标，即x₁ ， x₂就是方程的解．

方法三：利用两个函数图象的交点求解

（1）把方程x²﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ ▲ 的图象与一个一次函数y＝ ▲ 图象交点的横坐标；

（2）画出这两个函数的图象，用x₁ ， x₂在x轴上标出方程的解．

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30. (2023九上·威远期中) 如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程 $\text{[math]}$ 的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
1. （1）下列方程是三倍根方程的是；
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
2. （2）若关于n的方程 $\text{[math]}$ 是“三倍根方程”，则 $\text{[math]}$ ；（写出必要步骤）
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是关于x的“三倍根方程”，求代数式 $\text{[math]}$ 的值．
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31. (2023九上·雷州月考) 苏科版九上数学 $\text{[math]}$ 阅读 $\text{[math]}$ 各类方程的解法 $\text{[math]}$ 中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $\text{[math]}$ ，可以通过因式分解把它转化为 $\text{[math]}$ ，解方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，可得方程 $\text{[math]}$ 的解．
1. （1）问题：方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ 的解；
3. （3）拓展：若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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32. (2023九上·安岳期末) 定义：已知 $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ，因 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以一元二次方程 $\text{[math]}$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：
1. （1）判断一元二次方程 $\text{[math]}$ 是否为“限根方程”，并说明理由；
2. （2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，且两根 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求k的值；
3. （3）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，求m的取值范围.
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33. (2023九下·江都月考) 定义一种新的运算方式： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， n为正整数），例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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34. (2023九上·邵阳月考) 阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助 $\text{[math]}$ 所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
根据以上材料解答下列各题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）无论 $\text{[math]}$ 取何值，关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 总有两个不相等的实数根；
3. （3） $\text{[math]}$ 解方程： $\text{[math]}$ ；
4. （4）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的三边长，且 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
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35. (2024九下·岳阳开学考) 定义：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个整数根，且满足 $\text{[math]}$ ，则称此类方程为“差1方程”．例如： $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”．
1. （1）下列方程是“差 $\text{[math]}$ 方程”的是；（填序号）
  ① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ；
2. （2）若方程 $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”，求 $\text{[math]}$ 的值．
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36. (2023九上·岳阳月考) 定义新运算“ $\text{[math]}$ ”：对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： $\text{[math]}$ ．
1. （1）求关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的根；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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37. (2023九上·南皮期中)
1. （1）知识背景：利用配方法解一元二次方程 $\text{[math]}$ ，可以得到一元二次方程的求根公式.—般地，对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，它的求根公式是 $\text{[math]}$ ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
2. （2）小明在用公式法解方程 $\text{[math]}$ 时出现了错误，解答过如下：
  ∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（第一步）
  ∴ $\text{[math]}$ .（第二步）
  ∴ $\text{[math]}$ .（第三步）
  ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（第四步）
  小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是.
3. （3）请你写出此题正确的解答过程.
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38. (2023九上·晋江开学考) 如果一元二次方程的两根相差 $\text{[math]}$ ，那么该方程称为“差 $\text{[math]}$ 方程” $\text{[math]}$ 例如 $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”．
1. （1）判断下列方程是不是“差 $\text{[math]}$ 方程”，”并说明由：
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是常数 $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ 是“差 $\text{[math]}$ 方程”，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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39. (2022九上·修水月考) 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程： $\text{[math]}$ ．

解：分两种情况：

①当 $\text{[math]}$ 时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）；

②当 $\text{[math]}$ 时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）．

综上所述，原方程的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请参照上述方法解方程 $\text{[math]}$ ．

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40. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）﹣（1﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）．
令 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =t，则
原式=（1﹣t）（t+ $\text{[math]}$ ）﹣（1﹣t﹣ $\text{[math]}$ ）t
=t+ $\text{[math]}$ ﹣t²﹣ $\text{[math]}$ t﹣ $\text{[math]}$ t+t²
= $\text{[math]}$
问题：
1. （1）计算
  （1﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣…﹣ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）﹣（1﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ﹣…﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）；
2. （2）解方程（x²+5x+1）（x²+5x+7）=7．
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