命题新趋势3 真实情境（2）——2024年北师大版数学八（下...

更新时间：2024-06-02 浏览次数：11 类型：复习试卷

一、因式分解

1. (2021八下·青山期末) 因式分解 $\text{[math]}$ 时，甲看错了 $\text{[math]}$ 的值，分解的结果是 $\text{[math]}$ ，乙看错了 $\text{[math]}$ 的值，分解的结果为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 分解因式正确的结果为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021八下·保定期中) 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别对应下列六个字，师、爱、我、保、好、美，现将 $\text{[math]}$ 因式分解．结果呈现的密码信息可能是（）

A . 我爱美 B . 保师好 C . 爱我保师 D . 美我保师

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3. (2022八下·昌图期末) 甲、乙两个同学因式分解 $\text{[math]}$ 时，甲看错了a，分解结果为 $\text{[math]}$ ，乙看错了b，分解结果为 $\text{[math]}$ ．求多项式 $\text{[math]}$ 分解因式的正确结果．

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4. 下面是某同学对 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程，解：设 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
回答下列问题：
1. （1）该同学第二步到第三步运用了
  A．提取公因式
  B．平方差公式
  C．两数和的完全平方公式
  D．两数差的完全平方公式
2. （2）该同学因式分解的结果是否彻底？(填“彻底”或者“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果
3. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解．
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5. (2024九下·路桥开学考) 【问题提出】如何分解因式：2x²+2xy-3x-3y？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：2x²+2xy-3x-3y
=（2x²+2xy）-（3x+3y）
=2x（x+y）-3（x+y）
=（x+y）（2x-3）
乙同学：2x²+2xy-3x-3y
=（2x²-3x）+（2xy-3y）
=x（2x-3）+y（2x-3）
=（2x-3）（x+y）
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
1. （1）分解因式：a²﹣b²+a﹣b；
2. （2）已知△ABC的三边长a ， b ， c满足a²﹣ab+ac﹣bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
3. （3）【拓展提升】如图是一块长方形试验田，已知AB长为x m，AC长为（x+1）m，当x=a时，长方形试验田的面积为S₁m² ，当x=b时，长方形试验田的面积为S₂m²（a，b均为正整数），且满足S₂-S₁=8，请求出a和b的值．
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6. (2024八上·播州期末) 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ．
通过以上计算发现，形如 $\text{[math]}$ 的两个多项式相乘，其结果一定为 $\text{[math]}$ 为整数 $\text{[math]}$
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有 $\text{[math]}$ ，即可将形如 $\text{[math]}$ 的多项式因式分解成 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为整数 $\text{[math]}$ ．
例如： $\text{[math]}$ ．
1. （1）【初步应用】用上面的方法分解因式： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【类比应用】规律应用：若 $\text{[math]}$ 可用以上方法进行因式分解，则整数 $\text{[math]}$ 的所有可能值是；
3. （3）【拓展应用】分解因式： $\text{[math]}$ ．
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7. (2023八上·新兴期末) 下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程.

解：设 $\text{[math]}$ .

原式 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

任务：（1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____.

（1）由平方的非负性可知 $\text{[math]}$ 有最小值，则最小值为.
（2）请你用“换元法”对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解.

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8. (2023八上·潮南期末) 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $\text{[math]}$ 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $\text{[math]}$ ；
解法二：原式 $\text{[math]}$ ．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
1. （1）【类比】请用分组分解法将 $\text{[math]}$ 因式分解；
2. （2）【挑战】请用分组分解法将 $\text{[math]}$ 因式分解；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用分组分解法先将 $\text{[math]}$ 因式分解，再求值．
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二、分式与分式方程

9. (2024·昆明模拟) 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024八下·深圳期末) 某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024八下·江北期中) 2024年龙年春晚吉祥物“龙辰辰”引爆购买热潮，导致“一辰难求”．某工厂承接了 30万只吉祥物的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了 $\text{[math]}$ ，提前 5 天完成任务．设原计划每天生产x万只吉祥物，则下面所列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023八下·衡山期末) 一项工程，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③____，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程： $\text{[math]}$ ，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）

A . 甲乙合作了4天 B . 甲先做了4天 C . 甲先做了工程的 $\text{[math]}$ D . 甲乙合作了工程的 $\text{[math]}$

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13. (2024八下·深圳期中) “绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木1000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前2天完成任务.则实际每天植树棵.

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14. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来 $\text{[math]}$ 天用水 $\text{[math]}$ 吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水吨．

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15. (2024八下·宜宾月考) 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\text{[math]}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\text{[math]}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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16. (2024八下·宛城月考) 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

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17. (2024八下·开原月考) 某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
1. （1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?
2. （2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框? (不计材料损耗)
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18. (2024八下·深圳期末) 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
1. （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
2. （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了 $\text{[math]}$ ，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
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19. (2023八下·五华期末) 某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息：
书本类别
A类
B类
进价（单位：元）
18
12
备注
用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本．
1. （1）陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价；
2. （2）为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变．此时书店应如何进货才能获得最大利润？
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三、平行四边形

20. (2024八下·宜州期中) 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）

A . 5m B . 10m C . 20m D . 40m

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21. (2024八下·新会期中) 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形 $\text{[math]}$ 空地上围一个四边形花坛 $\text{[math]}$ ．已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，量得 $\text{[math]}$ 米，则边 $\text{[math]}$ 的长是( )

A . 6米 B . 7米 C . 8米 D . 9米

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22. (2024八下·翁源期中) 2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（）．

A . 三角形的稳定性 B . 平行四边形的不稳定性 C . 两点之间线段最短 D . 点到直线的距离垂线段最短

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23. (2024八下·镇平县月考) 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A . ①，② B . ①，④ C . ③，④ D . ②，③

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24. (2024八下·覃塘期中) 如图，某花木场有一块四边形 $\text{[math]}$ 的空地，其各边的中点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，测得对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果用篱笆围成四边形 $\text{[math]}$ 场地，则需篱笆总长度是．

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25. (2024八下·吴兴期中) 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

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26. 一块四边形的绿化园地，四角都建有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为。

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27. (2024八下·新晃期中) 阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
1. （1）这个“多加的锐角”是°.
2. （2）小明求的是几边形的内角和？
3. （3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
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28. (2023八下·南山期末) 如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：

甲方案

乙方案

分别取AO，CO的中点E，F

作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F

请回答下列问题：
1. （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 ▲ ，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
2. （2）若EF＝2AE，S_△_AED＝6，求▱ABCD的面积．
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29. (2024八下·龙门期中) 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
1. （1）操作判断：
  如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，把纸片展平，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．请写出线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.
2. （2）迁移思考：
  如图1，若 $\text{[math]}$ ，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）拓展探索：
  如图2，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是对角，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，把纸片展平，延长 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的值．
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30. (2023八下·南山期末) 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：

甲方案

乙方案

请回答下列问题：
1. （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是甲方案或乙方案，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
2. （2）若EF=2AE， $\text{[math]}$ ，求平行四边形ABCD的面积.
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