备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第23题

更新时间：2023-04-15 浏览次数：125 类型：三轮冲刺

一、原题

1. (2022·嘉兴) 已知抛物线L₁：y＝a(x＋1)²－4（a≠0）经过点A（1，0）．
1. （1）求抛物线L₁的函数表达式．
2. （2）将抛物线L₁向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L₂ ．若抛物线L₂的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L₁上，求m的值．
3. （3）把抛物线L₁向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L₃ ，若点B（1，y₁），C（3，y₂）在抛物线L₃上，且y₁＞y₂ ，求n的取值范围．
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二、基础

2. (2022九上·中山期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，将抛物线 $\text{[math]}$ 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 能否在抛物线 $\text{[math]}$ 上？请说明理由．
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3. (2022九上·汉阴月考) 把抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求出抛物线 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．
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4. (2022·岐山模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴的交点为A，顶点为P，对称轴为直线m.
1. （1）求抛物线l的顶点坐标P和对称轴.
2. （2）抛物线l关于点A对称的抛物线为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为Q，对称轴为直线n，在直线m和直线n上是否分别存在点E、F，使得四边形 $\text{[math]}$ 为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
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5. (2022·南宁模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线对称轴及与x轴的交点坐标；
2. （2） ①无论 $\text{[math]}$ 为何值，抛物线 $\text{[math]}$ 一定经过两个定点，请直接写出两个定点的坐标；
  ②将抛物线 $\text{[math]}$ 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式并求出抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 两个顶点的距离；
3. （3）若（2）中抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点到 $\text{[math]}$ 轴的距离为2，求 $\text{[math]}$ 的值.
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6. (2022·奉化模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线表达式，并根据图象写出当 $\text{[math]}$ 时x的取值范围；
2. （2）请写出一种平移方法，使得平移后抛物线的顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上，并求平移后抛物线表达式．
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7. (2022·舟山模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是（1，0）.
1. （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围.
2. （2）将图象向上平移m个单位后，二次函数图象与x轴交于E，F两点，若EF＝6，求m的值.
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8. (2024九上·柯桥月考) 如图，将抛物线P₁：y=x²+2x+m平移后得到抛物线P₂：y=x²﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P₁ ， P₂的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P₁ ， P₂于点A，B．
1. （1）求抛物线P₁的对称轴和点A的横坐标．
2. （2）求线段AB和CD的长度．
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三、进阶

9. (2022·嵊州模拟) 已知抛物线y=ax² +bx+ l经过点（1，-2），（-2，13）.
1. （1）求a，b的值；
2. （2）若（5，y₁），（n，y₂）是抛物线上不同的两点，且y₂=12-y₁ ，求n的值；
3. （3）将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值.
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10. (2022·凤县模拟) 如图，抛物线C₁：y＝ax²＋2x＋c与x轴交于点A、B两点，且经过直线y=－x－3与两轴的交点A、C，其顶点为D.
1. （1）求抛物线C₁的表达式及D点坐标；
2. （2）将抛物线C₁向右平移，使得平移后的抛物线C₂与抛物线C₁交于点P，且∠PAB＝∠DAC，求平移后的抛物线C₂的表达式.
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11. (2022·凤县模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，平移后点A的对应点为点B.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）若点M是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，点N是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由.
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12. (2021九上·鄂城期末) 学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示.请根据函数图象完成以下问题：
1. （1）观察发现：
  ①写出该函数的一条性质；
  
  ②函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程 $\text{[math]}$ 有个实数根；
2. （2）分析思考：
  ③方程 $\text{[math]}$ 的解为；
  
  ④关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有4个实数根时，m的取值范围是；
3. （3）延伸探究：
  ⑤将函数 $\text{[math]}$ 的图象经过怎样的平移可以得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，直接写出平移过程.
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13. (2022九上·衢江月考) 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象的顶点在一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的伴随函数，如 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的伴随函数.
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后是 $\text{[math]}$ 的伴随函数，求 $\text{[math]}$ 的值
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的伴随函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴只有一个交点，求当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围.
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14. (2023·即墨模拟) 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少了一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数解析式 $\text{[math]}$ ，

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，．

求该二次函数的解析式．
1. （1）请根据已有信息添加一个适当的条件：
2. （2）当函数值 $\text{[math]}$ ，自变量x的取值范围为：
3. （3）如图1，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移4个单位与 $\text{[math]}$ 的图象组成一个新的函数图象，记为L，若点 $\text{[math]}$ ，求m的值．
4. （4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，在L上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，不存在，说明理由．
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15. (2022九上·定海月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线经过 $\text{[math]}$ 两点，与x轴交于点N．
1. （1）点N的坐标为．
2. （2）已知抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线C关于y轴对称，且抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A， $\text{[math]}$ （点A在点 $\text{[math]}$ 的左边）．
  ①抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式？
  
  ②当抛物线 $\text{[math]}$ 和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．
3. （3）若抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与x轴的交点为A， $\text{[math]}$ （点A在，点 $\text{[math]}$ 的左边）．判断抛物线的顶，点 $\text{[math]}$ 是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由．
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四、突破

16. (2022·宝鸡模拟) 在平面直角坐标系中已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及点D的坐标；
2. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称后的抛物线记作 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点记作点E，求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）是否在 $\text{[math]}$ 轴上存在一点 $\text{[math]}$ ，在抛物线 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 点坐标，若不存在，请说明理由.
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17. (2022九上·长沙开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移经过点 $\text{[math]}$ ，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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18. (2022·旌阳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y $\text{[math]}$ bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）把抛物线y $\text{[math]}$ bx+c沿射线AC方向平移 $\text{[math]}$ 个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
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19. (2022·高安模拟) 定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F₁ ，函数l的图象未翻折的部分记作F₂ ，图象F₁和F₂合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x²﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x²+3（x＜1）．
1. （1）如图，函数l的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝．
2. （2）函数l的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ ，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
3. （3）已知函数l的解析式为y＝x²﹣4x+3，
  ①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
  ②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
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20. (2023·秦皇岛模拟) 定义：如果二次函数 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是常数）与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是常数）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数 $\text{[math]}$ 的“旋转函数”，由函数 $\text{[math]}$ 可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
1. （1）写出函数 $\text{[math]}$ 的“旋转函数”；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“旋转函数”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试求证：经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的二次函数与 $\text{[math]}$ 互为“旋转函数”．
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21. (2021九上·南宁期中) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x²+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛线于点D，交x轴于点G.
1. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
2. （2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
3. （3）如图3，将抛物线y＝-x²+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝-x²+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
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