【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：二次函...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：17 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2021·北京) 函数 $\text{[math]}$ ，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A . 奇函数，最大值为2 B . 偶函数，最大值为2 C . 奇函数，最大值为 $\text{[math]}$ D . 偶函数，最大值为 $\text{[math]}$

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2. (2023·平湖模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，若在直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·雅安模拟) 如图，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中，斜边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段BC上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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4. (2022·江苏模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是1 B . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值是4 D . $\text{[math]}$ 的最小值是5

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5. (2022·许昌模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -4 B . 4 C . 8 D . -8

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6. (2022·山西二模) 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在菱形 $\text{[math]}$ 所在平面内，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022·赤峰模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在单位圆上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022·南昌模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·河南模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有下述四个结论：
①若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$ ②若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 为定值2③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ④已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（）

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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10. (2022·深州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的最小值为2，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2022·西城模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ ，当m变化时，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

12. (2022·浙江学考) 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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13. (2021·天津) 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $\text{[math]}$ 且交AB于点E ． $\text{[math]}$ 且交AC于点F ，则 $\text{[math]}$ 的值为； $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2022·沧州模拟) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为，若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. (2023·松江模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系中关于 $\text{[math]}$ 轴对称的两点，且 $\text{[math]}$ ．若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. (2023·浦东模拟) 已知边长为2的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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17. (2023·邯郸模拟) 在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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18. (2024高二下·广州期末) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上的动点.且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为.点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为.

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19. (2023·漳州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，点D满足 $\text{[math]}$ ，点E为线段CD上异于C，D的动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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20. (2023·广东模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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21. (2023·上海市模拟) 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ ．

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22. (2023·南通模拟) 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长都为1，点 $\text{[math]}$ 在侧棱 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的边数至多为， $\text{[math]}$ 的面积的最大值为.

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23. (2022·浙江模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对边分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =， $\text{[math]}$ 的面积的最大值为．

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24. (2022·通州模拟) 在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在AB边上，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的长度是， $\text{[math]}$ 的最大值是．

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三、解答题

25. (2023高三上·中山月考) 记 $\text{[math]}$ 是公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求使 $\text{[math]}$ 成立的n的最小值．
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26. (2023·惠州模拟) 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点在同一平面上，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 长度变化时， $\text{[math]}$ 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
2. （2）记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
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27. (2023·广州模拟) 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $\text{[math]}$ （单位：千万元）对每件产品成本 $\text{[math]}$ （单位：元）的影响，对近 $\text{[math]}$ 年的年技术创新投入 $\text{[math]}$ 和每件产品成本 $\text{[math]}$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）根据散点图可知，可用函数模型 $\text{[math]}$ 拟合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，试建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程；
2. （2）已知该产品的年销售额 $\text{[math]}$ （单位：千万元）与每件产品成本 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $\text{[math]}$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $\text{[math]}$ 为何值时，年利润的预报值最大？
  （注：年利润=年销售额一年投入成本）
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28. (2023·浦东模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为9，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并指出 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的取值．
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29. (2023·长安模拟) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数a的取值范围．
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30. (2022·雅安模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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31. (2022·郑州模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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32. (2022·芜湖模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若对任意 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围.
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33. (2022·云南模拟) 如图，已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， D，E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， G为线段 $\text{[math]}$ 上一动点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值的最大值.
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34. (2022·山西二模) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.
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35. (2022·马鞍山模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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