【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第19题

更新时间：2023-08-30 浏览次数：70 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·杭州) 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积等于2，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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二、基础

2. (2023八下·南充期末) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点E，F对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

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3. (2023八下·南宁期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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4. (2023八下·蒲城期末) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 对角线交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

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5. (2023八下·洋县期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O ，点E ， F在 $\text{[math]}$ 上，点G ， H在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的度数．
2. （2）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
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6. (2023八下·乾县期末) 如图，点B是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的定点，点C是边 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，且点A的对应点D恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．点F是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且点F到 $\text{[math]}$ 的距离等于点F到 $\text{[math]}$ 的距离．当 $\text{[math]}$ 时．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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7. (2023八下·志丹期末) 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长是4，D、E分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，过E点作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 平行四边形；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的长．
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8. (2023八下·子洲期末) 如图，点B是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的定点，点C是边 $\text{[math]}$ 上的动点，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，且点A对应点D恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．点F是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且点F到 $\text{[math]}$ 的距离等于点F到 $\text{[math]}$ 的距离．当 $\text{[math]}$ 时．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 度数．
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9. (2023八下·呈贡期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．
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10. (2023八下·东源期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点，过点C作 $\text{[math]}$ 交BE的延长线于F，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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三、提高

11. (2023八下·德宏期末) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在直线 $\text{[math]}$ 的两侧，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形
2. （2）若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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12. (2023八下·揭东期末) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点（不与点 $\text{[math]}$ 重合）． $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，证明 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图1，当点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
3. （3）如图2，当点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
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13. (2023八下·澄海期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D ，作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
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14. (2023八下·太原期末) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点．
1. （1）求作：直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
2. （2）在（1）所作图中，取 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，请按要求补全图形，并证明四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）．
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15. (2023八下·右玉期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；
2. （2）请对 $\text{[math]}$ 的边或角添加一个条件，使得四边形 $\text{[math]}$ 成为菱形，并进行证明．
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16. (2023八下·永川期末) 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.
1. （1）求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；
2. （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
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四、培优

17. (2023八下·长沙期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且分别交对角线 $\text{[math]}$ 于点E、F ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）在（2）的条件下，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2023八下·尧都期末) 综合与实践：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接判断 $\text{[math]}$ 的形状．
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19. (2023八下·岳阳楼期末) “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这是《岳阳楼记》中的一句千古名言，也是岳阳精神的真实写照，这句话具有鲜明的对称美．如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 对折后完全重合，四边形 $\text{[math]}$ 是以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴的“忧乐四边形”．
1. （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有（填序号）
  ①平行四边形；②长方形；③正方形；④菱形；⑤梯形
2. （2）在四边形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边上的中点，四边形 $\text{[math]}$ 是以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴的“忧乐四边形”（点F在四边形 $\text{[math]}$ 内部），连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点G ．
  ①如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是“忧乐四边形”．
  ②如图3，若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
3. （3）如图4，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，且点E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不与B、C重合），四边形 $\text{[math]}$ 是以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴的“忧乐四边形”（点F在正方形 $\text{[math]}$ 内部），连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点H ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 三条线段之间的数量关系．
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20. (2023八下·孝义期末) 综合与实践
如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图2，在图1的基础上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，与正方形 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（提示：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ）
3. （3）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积是9， $\text{[math]}$ ，则直接写出 $\text{[math]}$ 的长．
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21. (2023八下·中阳期末) 综合与探究
如图，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点A作直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式．
2. （2）在 $\text{[math]}$ 轴左侧作直线 $\text{[math]}$ 轴，分别交直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．能否在直线 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求出 $\text{[math]}$ 点的坐标．
3. （3） $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，在（2）的条件下， $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ 使得以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. (2023八下·阳泉期末) 综合与实践
1. （1）问题情境：
  
  在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上任意一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点D的对应点为 $\text{[math]}$ ．
  
  分析探究：
  如图1，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时，四边形 $\text{[math]}$ 的形状为．
2. （2）问题解决：
  如图2，当E，F为 $\text{[math]}$ 边的三等分点时，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 边于点G．试判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
3. （3）如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 边于点H．若 $\text{[math]}$ 的面积为24， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．
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