高中数学三轮复习（直击痛点）：专题3导数中函数的构造问题

更新时间：2024-01-26 浏览次数：24 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2024·潍坊期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·昌乐模拟) 定义在 $\text{[math]}$ 上函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对任意的不相等的实数 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 成立，若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·绵阳高考模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在点 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·大湾区模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则直线 $\text{[math]}$ 的条数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·广州模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在极小值点，则a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

6. (2024·荆州市模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 既有极大值也有极小值，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·海南高考模拟) 设 $\text{[math]}$ 分别为函数 $\text{[math]}$ 的极大值点和极小值点，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极小值点 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

8. (2024高三上·贵州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ .

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9. 设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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10. (2023·上海卷) 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为 $\text{[math]}$ ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为 $\text{[math]}$ ，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 $\text{[math]}$ ；

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四、解答题

11. (2024·宁德模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最值.
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12. (2024·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论f（x）的单调性；
2. （2）证明：①当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有两个零点；
  ②当﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）一个零点；请从①②中选择其一作答．
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13. (2024高三上·海南高考模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 有唯一极值点.
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14. (2024高三上·绵阳高考模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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15. (2024咸阳高考模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求过点 $\text{[math]}$ 且和曲线 $\text{[math]}$ 相切的直线方程；
2. （2）若对任意实数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2024高三上·保定期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的切线方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的零点个数，并说明理由．
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17. (2024·大湾区模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为实数）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）探究 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的极值点个数．
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18. (2024高三上·香坊期末) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导数.证明：
  （i） $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；
  （ii）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
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19. (2024高三上·台州模拟) 设 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求整数 $\text{[math]}$ 的最大值．（参考数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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20. (2023·北京卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的极值点个数．
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21. (2023·天津卷) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ ．
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22. (2023·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）是否存在a，b，使得曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在极值，求a的取值范围.
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23. (2023高三上·长安月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程.
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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24. (2023·上海卷) 已知 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则继续，若 $\text{[math]}$ 则停止，以此类推得到数列 $\text{[math]}$ .
1. （1）若正整数 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正整数 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 大小；
3. （3）若正整数 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.
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25. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 问
（1）求 f x 的单调区间（2）设曲线 y = f x 与 x 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，曲线在点 P 处的切线方程为 y = $\text{[math]}$ ，求证：对于任意的正实数 x ，都有 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间
2. （2）设曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求证：对于任意的正实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）有两个正实数根 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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26. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）设实数k使得 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求k的最大值．

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27. (2020·江苏) 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， $\text{[math]}$ 为铅垂线( $\text{[math]}$ 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与D到 $\text{[math]}$ 的距离a(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与F到 $\text{[math]}$ 的距离b(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ .已知点B到 $\text{[math]}$ 的距离为40米.
1. （1）求桥AB的长度；
2. （2）计划在谷底两侧建造平行于 $\text{[math]}$ 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 $\text{[math]}$ (万元)(k>0).问 $\text{[math]}$ 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
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