正方形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练

更新时间：2024-10-18 浏览次数：22 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024八上·成都期中) 如图，将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024九上·成都月考) 如图，一块材料的形状是锐角三角形 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $\text{[math]}$ 上，其余两个顶点分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，则这个正方形零件的边长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·重庆市期中) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F、G、H分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的度数为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·花溪月考) 如图，将边长 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 沿其对角线 $\text{[math]}$ 剪开，再把 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 方向平移，得到 $\text{[math]}$ ，若两个三角形重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则它移动的距离 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·深圳月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 交于点G，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

A . ①③ B . ①②③④ C . ①②③ D . ①③④

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6. (2024九上·承德月考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，M，N分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．
结论 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；结论 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．
对于结论 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 正确， $\text{[math]}$ 不正确 B . $\text{[math]}$ 不正确， $\text{[math]}$ 正确 C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都正确 D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都不正确

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7. (2024九上·六盘水月考) 如图，正方形的面积为4， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点E在正方形 $\text{[math]}$ 内，在对角线 $\text{[math]}$ 上有一点P，使 $\text{[math]}$ 的和最小，则这个最小值为（）

A . 3 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. (2024九上·北京市开学考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，并交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．给出下面三个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A . 仅有② B . 仅有③ C . ②③ D . ①②③

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二、填空题

9. (2024九上·深圳月考) 已知：如图所示， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 延长线一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度．

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10. (2024九上·绿园月考) 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，如果将线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 旋转后，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上的 $\text{[math]}$ 处，那么 $\text{[math]}$ 等于．

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11. (2024八上·武汉月考) 如图，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别过正方形 $\text{[math]}$ 的三个顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且相互平行，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离为2，则正方形的边长为．

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12. (2024九上·金堂月考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. (2024九上·杭州开学考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③△ $\text{[math]}$ 的周长为12，④ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论有．

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三、解答题

14. (2024九上·奉贤月考) 如图矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 边上顶点D、G分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当矩形 $\text{[math]}$ 为正方形时，求正方形的边长；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，求矩形 $\text{[math]}$ 的面积．
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15. (2024九上·岳阳开学考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上一动点．
1. （1）如图①，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系▲ ，证明你的猜想；
2. （2）如图②，在（1）的条件下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中， $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
3. （3）如图③，若点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，且始终满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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16. (2024·柯桥模拟) 下图题由边长为1的小正方形组成的 $\text{[math]}$ 网格， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
1. （1）图①中，画出 $\text{[math]}$ 的中线AD；
2. （2）图②中，在 $\text{[math]}$ 的边BC上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
3. （3）图③中，在 $\text{[math]}$ 的边AC上找一点 $\text{[math]}$ ，连接BF，使 $\text{[math]}$ 的面积为1．
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17. (2024八下·济南期末) 阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边上的点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ （如图 $\text{[math]}$ ），此时 $\text{[math]}$ 即是 $\text{[math]}$ ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
1. （1）在图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的度数是___________；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ___________时，线段 $\text{[math]}$ 有最大值，并求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
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18. (2024八下·长寿期末) 如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）当等腰 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 落在正方形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 请探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论．
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19. (2024八下·新会期末) 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
1. （1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
2. （2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
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20. (2024九上·麒麟开学考) 问题情境：已知正方形 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上任意一点．
思考发现：（1）如图1，若连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为___________．
探究应用：（2）如图2，经过点B作 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G．
①判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
②连接 $\text{[math]}$ ，若G是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，请直接给出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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