综合与探究题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

更新时间：2025-01-04 浏览次数：8 类型：复习试卷

一、精选综合探究题

1. (2023九上·高州期末) 生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
$\text{[math]}$ （只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄
A
B
C
D
……
个体数量
92
187
x
y
……
注：表中“ $\text{[math]}$ ”表示鱼的年龄 $\text{[math]}$ 年， $\text{[math]}$ 表示年龄 $\text{[math]}$ 年， $\text{[math]}$ 表示年龄 $\text{[math]}$ 年， $\text{[math]}$ 表示年龄为 $\text{[math]}$ 年．
1. （1）年龄为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的个体数量的平均数为125，年龄在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的个体数量的中位数是95，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）．
2. （2）若将年龄为 $\text{[math]}$ 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
3. （3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 年龄的鱼的概率．
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2. (2024九上·汕尾期末) 综合探究
如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 下方作 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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3. (2024九上·惠东期末) 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【数学思考】老师问：当 $\text{[math]}$ 为多少度时， $\text{[math]}$ ？（请写出证明过程）；
2. （2）【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
  ①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时， $\text{[math]}$ 为_▲_度．直接写出结果；
  ②“智慧小组”提出问题：连接BD ，当 $\text{[math]}$ 时，探求 $\text{[math]}$ 值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．
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4. (2024九上·耒阳期末) 综合与探究
如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 部分上一动点（可与A ， B两点重合），过点P作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点M ，交x轴于点N ．
1. （1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式．
2. （2） ①求线段 $\text{[math]}$ 的最大值．
  ②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求m的值．
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5. (2024九上·金湾期末) 综合运用
已知：抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ .
图1 图2 备用图
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1：抛物线的对称轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在抛物线对称轴上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；（不需要证明）
3. （3）如图2：点 $\text{[math]}$ 在对称轴上，以点 $\text{[math]}$ 为圆心过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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6. (2024九上·汕尾期末) 综合应用
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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7. (2024九上·博罗期末) 综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.
1. （1）求证：AB＝CE；
2. （2）求证：DC与⊙O相切；
3. （3）若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.
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8. (2024九上·惠东期末) 综合应用：如图，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，点C是 $\text{[math]}$ 上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D ，直线DC与AB的延长线相交于点P ， G是 $\text{[math]}$ 的内心，连接CG并延长，交 $\text{[math]}$ 于点E ，交AB于点F ，连接BE ．
1. （1）求证：AC平分 $\text{[math]}$ ；
2. （2）连接BG ，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段EC的长．
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9. (2024九上·惠东期末) 综合探究：如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，连接AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）设M点的坐标为 $\text{[math]}$ ，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？
3. （3）试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （4）在（2）的条件下，直PM上有一动点R ，连接RO ，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．
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10. (2024九上·博罗期末) 综合运用
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.
1. （1）求抛物线的函数表达式.
2. （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l ，交线段AC于点D ．
  ①试探究：在直线l上是否存在点E ，使得以点D ， C ， B ， E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
  ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M ，与直线AC交于点N ．当S_△_DMN＝S_△_AOC时，请直接写出DM的长.
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二、最新综合探究题

11. (2024九上·广州期中) 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成，立柱高为 $\text{[math]}$ ，顶棚最高点距离地面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $\text{[math]}$ ，从喷水口 $\text{[math]}$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $\text{[math]}$ 的图象相同， $\text{[math]}$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $\text{[math]}$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $\text{[math]}$ 处喷出的水流在距离 $\text{[math]}$ 点水平距离为多少米时达到最高．

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12. (2024九上·中山期中) 拓展探究
问题情境：“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1，∵（x+2）²≥0，
∴（x+2）²+1≥1，∴x²+4x+5≥1．
（1）探究：x²﹣4x+5＝（x ）²+ ；
（2）应用：比较代数式：x²﹣1与2x﹣3的大小；
（3）拓展：求x²﹣4x+y²+2y+7的最小值．

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13. (2024九上·香洲期中) 综合与实践
主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题．
1. （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________．
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路．
  设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为 $\text{[math]}$ ，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式；
3. （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由；
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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14. (2024九上·珠海期中) 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
1. （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
  若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 厘米，该水槽的横截面面积为 $\text{[math]}$ 厘米 $\text{[math]}$ ，请你写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式(不必写出 $\text{[math]}$ 的取值范围)，并求出当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的值最大，最大值又是多少？
  方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
  若 $\text{[math]}$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的 $\text{[math]}$ 的最大值比较大小．
2. （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
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15. (2024九上·东莞期中) 综合与实践
【问题情景】：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】：
1. （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒：
  
  A . B . C . D .
2. （2）如图1，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；
3. （3）如图2，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
  ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
  ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为 $\text{[math]}$ ，求将要剪去的正方形的边长．
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16. (2024九上·广州期中) 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 $\text{[math]}$ .连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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17. (2024九上·香洲期中) 【问题背景】
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．点M为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点M作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点P，交 $\text{[math]}$ 于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
【构建联系】
（2）过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为点N，设M点的坐标为 $\text{[math]}$ ，
①请用含m的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；
②连接 $\text{[math]}$ 求出当m为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积有最大值，最大值是多少？
【深入探究】
（3）若点G是对称轴上一动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点G顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，当点A的对应点为 $\text{[math]}$ 刚好落在抛物线上时，求出点G的坐标．

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18. (2024九上·惠州期中)
1. （1）问题提出：
  如图1，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ .连接AC、BD，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，已知点C、D、E在一条直线上，则 $\text{[math]}$ 为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；
2. （2）探究发现：
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中，AB为直径，点 $\text{[math]}$ 为半圆AB的中点，点 $\text{[math]}$ 为弧AC上一点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且 $\text{[math]}$ ，请求出CD、AD、BD间的数量关系；
3. （3）拓展延伸：
  如图3，在等腰直角三角形ABC中，点 $\text{[math]}$ 为AB的中点，若 $\text{[math]}$ ，平面内存在点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 13，当点 $\text{[math]}$ 为AE中点时，直接写出PQ的长度.
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19. (2024九上·花都期末) 阅读：如图1，点A是 $\text{[math]}$ 外一点，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点．若 $\text{[math]}$ 的半径为3， $\text{[math]}$ 长度为5，则根据： $\text{[math]}$ ，得到点P到点A的最短距离为： $\text{[math]}$ ．
解决问题：
1. （1）如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 $\text{[math]}$ 方向向终点C和D运动，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点P ．
  ①证明： $\text{[math]}$ ．
  ②求点P到点C的最短距离．
2. （2）如图3，在平面直角坐标系中，等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在x轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D从B点出发，沿 $\text{[math]}$ 运动到O ，点E同时从O点以相同的速度出发，沿 $\text{[math]}$ 运动到A ，连接 $\text{[math]}$ ，交点为F ， M是y轴上一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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