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距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突...

更新时间：2022-07-31 浏览次数：91 类型：一轮复习

一、解答题

1. (2022高二下·揭阳期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $\text{[math]}$ （－ $\text{[math]}$ ， 0）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， 0），点M满足 $\text{[math]}$ ，记M的轨迹为C．以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
1. （1）求C的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值，并求出此时圆T的方程；
3. （3）设点P是轨迹C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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2. (2022高二下·焦作期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为曲线 $\text{[math]}$ 与x轴的两个交点．
1. （1）求C的方程；
2. （2）点P是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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3. (2022·四川模拟) 在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足 $\text{[math]}$
1. （1）求动点M的轨迹E的方程；
2. （2）设过点 $\text{[math]}$ 的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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4. (2022·郑州模拟) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，设 $\text{[math]}$ 是椭圆下顶点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 斜率之积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若一动圆的圆心 $\text{[math]}$ 在椭圆上运动，半径为 $\text{[math]}$ ．过原点 $\text{[math]}$ 作动圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别交椭圆于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，试证明 $\text{[math]}$ 为定值．
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5. (2022高二下·湛江期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上一动点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为2.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若C， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的左、右端点，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交椭圆于点 $\text{[math]}$ ， C为坐标原点.证明： $\text{[math]}$ 为定值.
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6. (2022·新疆三模) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆 $\text{[math]}$ ，设圆A与椭圆C交于点E，F.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小值，并求此时圆A的方程；
2. （2）设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明： $\text{[math]}$ 为定值.
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7. (2022·延庆模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，其中左顶点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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8. (2022·衡阳模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点是 $\text{[math]}$ ，若过焦点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，所得弦长 $\text{[math]}$ 的最小值为2．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上不同于坐标原点 $\text{[math]}$ 的两个不同的动点，且以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足，试探究是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，则求出该定点 $\text{[math]}$ 的坐标及定值 $\text{[math]}$ ，若不存在，请说明理由．
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9. (2022·湖南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A， $\text{[math]}$ ，右焦点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为2，当 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有且只有一个公共点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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10. (2022·晋中模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，过右焦点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交椭圆于M，N两点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）点P，Q在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为垂足.证明：存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值.
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11. (2022·辽阳二模) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程.
2. （2）过点 $\text{[math]}$ ，且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出定点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.
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12. (2022高二下·浙江期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为长轴的一个四等分点.
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）分别过 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求出该定值.
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13. (2022·平江模拟) 在平面直角坐标系中，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与椭圆相交于点 $\text{[math]}$ ；
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程，
2. （2）在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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14. (2022·安阳模拟) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，垂足为M，判断是否存在定点N，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在求出点N，若不存在，说明理由．
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15. (2022·芜湖模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点， $\text{[math]}$ 为椭圆的左焦点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点(点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方)， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点，证明： $\text{[math]}$ 为定值.
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16. (2022·兴化模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，记动点P到直线l： $\text{[math]}$ 的距离为d，且 $\text{[math]}$ ，设点P的轨迹为曲线E．
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得 $\text{[math]}$ 恒为定值．
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17. (2022·贵州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，抛物线C在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为2.
1. （1）求抛物线的方程.
2. （2）若斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段 $\text{[math]}$ 的中垂线与y轴交于点M.证明： $\text{[math]}$ 为定值.
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18. (2022高二上·阳江期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上､下焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，左､右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是面积为8的正方形.
1. （1）求C的标准方程.
2. （2） M，N为C上且在y轴右侧的两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为P，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
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19. (2022·安徽模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O： $\text{[math]}$ ，点M， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C．
1. （1）求曲线C的方程．
2. （2）已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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20. (2022·南昌模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，与 $\text{[math]}$ 平行的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别于 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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