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华师大版备考2023中考数学二轮复习专题29 圆的综合问题...

更新时间：2023-01-06 浏览次数：71 类型：二轮复习

一、综合题

1. (2022九上·襄汾月考) 综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为l的扇形 $\text{[math]}$ ，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线 $\text{[math]}$ 在展开图上对应的半径 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）特例研究：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，n=，展开图上， $\text{[math]}$ 与OB的夹角为．
2. （2）问题提出：求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为 $\text{[math]}$ ，母线长也为 $\text{[math]}$ ，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）
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2. (2022九上·襄汾月考) 阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条弦（即折线 $\text{[math]}$ 是圆的一条折弦）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则从点M向 $\text{[math]}$ 所作垂线的垂足D是折弦 $\text{[math]}$ 的中点，即 $\text{[math]}$ ．其部分证明过程如下：

证明：如图2，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

……

任务：

（1）补全证明过程，
（2）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离是，O到 $\text{[math]}$ 的距离是， $\text{[math]}$ 的半径是．

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3. (2022九上·通榆期中) 石拱桥是我国古化人民勤劳和w放的结品(如图①)，隋化建造的赵州桥览今约有1400年的历史，是我国古代石拱桥的代表，如图②是根据某石供桥的实物图两出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\text{[math]}$ ，桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，重足为点D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m，连接OB．
1. （1）直接写出AD与BD的数量关系，
2. （2）求这座石拱桥主桥拱的半径，(结果精确到1m)
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4. (2022九上·温州期中) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 的半径为5，弦 $\text{[math]}$ ，点C，D在优弧 $\text{[math]}$ 上（点B，C，D顺时针排列）， $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交弦 $\text{[math]}$ 的延长线于点E.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的某一个内角相等，且 $\text{[math]}$ 的长能确定时，求出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点K，求 $\text{[math]}$ 面积与 $\text{[math]}$ 面积的比值.
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5. (2022九上·杭州期中) 如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，点C为AB上方 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，点D为AB下方 $\text{[math]}$ 上一点，点E为AD上一点， $\text{[math]}$ ，连接BC，CD，BD.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）连接CE，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求半径的长.
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6. (2022九上·尧都期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，点E在射线 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点O，以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 切于点B，交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点M．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的形状和面积．
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7. (2022九上·慈溪期中) 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
1. （1）求证：点B在⊙M上．
2. （2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
3. （3）当点D到移动到使 $\text{[math]}$ ＝30°时，求证：AE²+CF²＝EF² ．
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8. (2022九上·宁波期中) 定义：△ABC中， $\text{[math]}$ ，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角．
1. （1）如图1，⊙O中，BC是直径，求证：△AOC为半余三角形．
2. （2）下列说法正确的是．
  ①半余三角形一定是钝角三角形；
  
  ②直角三角形不可能是半余三角形；
  
  ③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．
3. （3）如图2，⊙O中，BC是直径，AB=6，AC=8，点D是线段AC上一点（不与点A、点C重合），若△AOD为半余三角形，求OD的长．
4. （4）如图3，点E是直径BC上一点，△ABE为半余三角形，且∠BAE为半余角，过点E作EF⊥BC交AC于点F，若△ABC的面积为△AEF面积的7.5倍，求 $\text{[math]}$ 的值．
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9. (2022九上·杭州期中) 如图，在⊙O中，AB是直径，弧ACB=3弧AP，C是弧PB上一点，过点C做CD⊥AB，垂足是E，交⊙O于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．
1. （1）证明：∠FPC=∠APD；
2. （2）若∠PAC=α，∠FPC=β，求β与α满足的关系式；
3. （3）连结AD，若AC=3BC，求 $\text{[math]}$ ．
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10. (2022九上·瑞安期中) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）在（1）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）如图2，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
4. （4）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？
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11. (2022九上·海曙期中) 如图，AB为⊙O的弦，P是优弧 $\text{[math]}$ 上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．
1. （1）当∠A=∠AOC=30°时，求∠ECB的大小．
2. （2）当CE∥OA时，求证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
3. （3）当AC=CE，CF=FB时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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12. (2022九上·温州期中) 如图1，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），点B是y轴正半轴上一点，以AB为直径作OM，A与C关于y轴对称，直线CM交OM于点D，E（点E在左侧），交y轴于点F．设OB=a．
1. （1）求M的坐标（用a的代数式表示）和AC的长．
2. （2）若E是半圆AB的中点，求点E的坐标．
3. （3）如图2，过点A作AG∥CE交y轴于点G，连结BD并延长交AG延长线于点K．
  ①试说明△ABK是等腰三角形．
  
  ②当点G为AK中点时，求a的值．
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13. (2022九上·拱墅月考) 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在 $\text{[math]}$ 上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．
1. （1）用含α的代数式表示∠BFD．
2. （2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG．
3. （3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径， $\text{[math]}$ 的长为2时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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14. (2023·广东模拟) 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ， DE＝1，求AE的长度；
3. （3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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15. (2022·深圳) 一个玻璃球体近似半圆 $\text{[math]}$ 为直径，半圆 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处有个吊灯 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$
1. （1）如图①， $\text{[math]}$ 为一条拉线， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长度．
2. （2）如图②，一个玻璃镜与圆 $\text{[math]}$ 相切， $\text{[math]}$ 为切点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为入射光线， $\text{[math]}$ 为反射光线， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长度．
3. （3）如图③， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为入射光线， $\text{[math]}$ 为反射光线交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 的过程中，求 $\text{[math]}$ 点的运动路径长．
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16. (2022·潍坊) 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线 $\text{[math]}$ 方向泻至水渠 $\text{[math]}$ ，水渠 $\text{[math]}$ 所在直线与水面 $\text{[math]}$ 平行；设筒车为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，与直线 $\text{[math]}$ 交于B，C两点，恰有 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）筒车的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到 $\text{[math]}$ ，参考值： $\text{[math]}$ ）．
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17. (2022·北京市) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 对于点 $\text{[math]}$ 给出如下定义：将点 $\text{[math]}$ 向右 $\text{[math]}$ 或向左 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再向上 $\text{[math]}$ 或向下 $\text{[math]}$ 平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”．
1. （1）如图，点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，若点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”．
  ①在图中画出点 $\text{[math]}$ ；
  ②连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 的半径为1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“对应点”，连接 $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时直接写出 $\text{[math]}$ 长的最大值与最小值的差（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）
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18. (2022·大庆) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外接圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ．点D为 $\text{[math]}$ 外的一点， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 中点，弦 $\text{[math]}$ 过点E． $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求弦 $\text{[math]}$ 的长．
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19. (2022·绥化) 如图所示，在 $\text{[math]}$ 的内接 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于另一点B，C是 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与A，M重合），射线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，分别连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）在点C运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. (2022·河北) 如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， $\text{[math]}$ ，DH⊥BC于点H ．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：△PQM≌△CHD；
2. （2） △PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
  ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
  
  ②如图2，点K在BH上，且 $\text{[math]}$ ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
  
  ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ ， PM分别交BC于点E ， F ，若BE＝d ，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
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