【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：81 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2022高三上·白山) 已知符号函数 $\text{[math]}$ ，偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·惠州模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，如果对 $\text{[math]}$ 中的任意一个 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“类奇函数”．若某函数 $\text{[math]}$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A . 若0在 $\text{[math]}$ 定义域中，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 若 $\text{[math]}$ 定义域为 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 也是定义域为 $\text{[math]}$ 的“类奇函数”，则函数 $\text{[math]}$ 也是“类奇函数”

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3. (2023高二上·魏县期末) 若函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得 $\text{[math]}$ 在这两点处的切线重合，则称函数 $\text{[math]}$ 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·潍坊模拟) 存在函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意 $\text{[math]}$ 都有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三下·浙江开学考) 对任意正整数对 $\text{[math]}$ ，定义函数 $\text{[math]}$ 如下： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 下列变量之间的关系是函数关系的是（）

A . 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是已知常数，取 $\text{[math]}$ 为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B . 光照时间和果树亩产量 C . 降雪量和交通事故的发生率 D . 每亩施用肥料量和粮食亩产量

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7. (2023高一上·魏县期末) 下列命题中，正确的有（）个
①对应： $\text{[math]}$ 是映射，也是函数；
②若函数 $\text{[math]}$ 的定义域是（1，2），则函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ；
③幂函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图像有且只有两个交点；
④当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 恒有两个实根.

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2023高一上·官渡期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（）

A . B . C . D .

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9. (2023高一上·闵行期末) 存在函数 $\text{[math]}$ ，满足对任意 $\text{[math]}$ 都有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高一上·内江期末) 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 表示同一函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图像与直线 $\text{[math]}$ 的交点最多有1个 C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023高一上·嵩明期末) $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2024高一上·绿园月考) 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $\text{[math]}$ “狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 $\text{[math]}$ ＝．

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13. (2022·贺州模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于.

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14. (2021高一上·深圳竞赛) 如图展示了由区间(0，4)到实数集R的一个映射过程：区间(0，4)中的实数m对应数轴上的点M(如图甲)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B
A(B)恰好重合(如图乙)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图丙)，点A的坐标为(0，4)，若图丙中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．现给出以下命题：

①f(2)=0；

②f(x)的图象关于点(2，0)对称；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

④f(x)为偶函数．

其中真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)

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15. (2021高一上·大兴期中) 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $\text{[math]}$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第 $\text{[math]}$ 位上的数字为 $\text{[math]}$ ，那么你认为： $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”） $\text{[math]}$ 的函数，理由是.

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16. (2021高一上·湖州期中) 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表.

每户每月用水量	水价
不超过12 $\text{[math]}$ 的部分	3元/ $\text{[math]}$
超过12 $\text{[math]}$ 但不超过18 $\text{[math]}$ 的部分	6元/ $\text{[math]}$
超过18 $\text{[math]}$ 的部分	9元/ $\text{[math]}$

已知某户10月份用水量超过 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则该户该月应缴纳的水费 $\text{[math]}$ （元）关于用水量 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的函数关系式是y= .

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17. (2021高三上·福建月考) 已知 $\text{[math]}$ 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 $\text{[math]}$ ：.
①定义域为R；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

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18. (2021高三上·信阳开学考) 若存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得不等式在某区间上恒成立，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有.（填上所有正确答案的序号）
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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19. 下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为.
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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20. (2021·湖北模拟) 请写出满足条件“ $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上不是增函数”的一个函数：．

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三、解答题

21. (2023·黄浦模拟) 已知集合A和定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是关于A的同变函数.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 时，分别判断 $\text{[math]}$ 是否为关于A的同变函数，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的同变函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的表达式，并比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）若n为正整数，且 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的同变函数，求证： $\text{[math]}$ 既是关于 $\text{[math]}$ 的同变函数，也是关于 $\text{[math]}$ 的同变函数.
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22. (2024高一上·相城月考) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意的 $\text{[math]}$ ，都存在唯一的 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 型函数”.
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ 型函数”?并说明理由；
2. （2）若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 始终是“ $\text{[math]}$ 型函数”，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ ，是“ $\text{[math]}$ 型函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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23. (2023高一上·惠来期末) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域内存在两个不同的实数x，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“类指数函数”．
1. （1）已知函数 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“类指数函数”，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为“类指数函数”，求a的取值范围．
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24. (2022高一上·浙江月考) 对于函数 $\text{[math]}$ ，则称x为 $\text{[math]}$ 的“不动点”，若 $\text{[math]}$ ，则称x为 $\text{[math]}$ 的“和谐点”，函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为单调递增时，是否有 $\text{[math]}$ ？并证明；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数a最大值与最小值的积．
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25. (2022·上海模拟) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域内存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 类函数”.
1. （1）已知函数 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ 类函数”？并说明理由；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”，求实数m的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为其定义域上的“ $\text{[math]}$ 类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 取值范围.
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26. (2022高一上·虹口期末) 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“倒函数”．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否为倒函数，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 恒为正数），其中 $\text{[math]}$ 是偶函数， $\text{[math]}$ 是奇函数，求证： $\text{[math]}$ 是倒函数；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为倒函数，求实数m、n的值；判定函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并说明理由．
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27. (2022·松江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 为“拟线性函数”，其中数组 $\text{[math]}$ 称为函数 $\text{[math]}$ 的拟合系数.
1. （1）数组 $\text{[math]}$ 是否是函数 $\text{[math]}$ 的拟合系数？
2. （2）判断函数 $\text{[math]}$ 是否是“拟线性函数”，并说明理由；
3. （3）若奇函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，且 $\text{[math]}$ 的图像关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称（其中 $\text{[math]}$ 为常数），证明： $\text{[math]}$ 是“拟线性函数”.
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28. (2021高一上·大同期中) 若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否为P函数，并说明理由；
2. （2）是否存在实数a使得函数 $\text{[math]}$ 为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
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29. (2021高一上·青岛期中) 若对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是W陪伴的．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 陪伴的，并证明；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 陪伴的，求a的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 陪伴的，且是 $\text{[math]}$ 陪伴的，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 陪伴的．
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30. (2021高二下·鹤岗期末) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 是单调函数，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并证明；
3. （3）若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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