【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函...

更新时间：2023-09-18 浏览次数：20 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2020·新课标Ⅲ·理) 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A . a<b<c B . b<a<c C . b<c<a D . c<a<b

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2. (2020高一上·迁安期末) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·哈尔滨期中) 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2019·北京) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m₂-m₁= $\text{[math]}$ ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A . 10^10.1 B . 10.1 C . lg10.1 D . 10^-10.1

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5. (2022·河南模拟) 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 $\text{[math]}$ ，共可得到 $\text{[math]}$ 的不同值的个数是（）

A . 6 B . 8 C . 12 D . 16

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6. (2023·山西模拟) 在天文学中，常用星等 $\text{[math]}$ ，光照度 $\text{[math]}$ 等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式 $\text{[math]}$ .已知大犬座天狼星的星等为 $\text{[math]}$ ，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据 $\text{[math]}$ ）（）

A . 2 B . 1.05 C . 0.05 D . $\text{[math]}$

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7. (2023·汕头模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022·绵阳模拟) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 9

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9. (2022·北海模拟) 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位： $\text{[math]}$ ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当 $\text{[math]}$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）

A . 12800 B . 24800 C . 25600 D . 51200

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10. (2022·河南模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上且与端点不重合，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高一上·汉寿期中) 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为 $\text{[math]}$ ，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，若锶89的质量从 $\text{[math]}$ 衰减至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所经过的时间分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022·大荔模拟) 中国的 $\text{[math]}$ 技术领先世界， $\text{[math]}$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $\text{[math]}$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $\text{[math]}$ 取决于信道带宽 $\text{[math]}$ ､信道内信号的平均功率 $\text{[math]}$ ､信道内部的高斯噪声功率 $\text{[math]}$ 的大小.其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 $\text{[math]}$ 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $\text{[math]}$ ，而将信噪比 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 提升至6000，则 $\text{[math]}$ 的增长率为（）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 10% B . 16% C . 26% D . 33%

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13. (2022·柳州模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2022·广东模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

15. (2023高一上·南海月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 。

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16. (2022·湖南模拟) 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第 $\text{[math]}$ 次得到的数列的所有项的积记为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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17. (2022·贵州模拟) 将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称 $\text{[math]}$ 为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是．（精确到0.01， $\text{[math]}$ ）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（ $\text{[math]}$ ）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长 $\text{[math]}$ ．

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18. (2022·平凉模拟) $\text{[math]}$ ．

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19. (2022·南充模拟) 若等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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20. 在正项等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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21. (2022·玉林模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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22. (2022高三上·杨浦模拟) 方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ .

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23. (2022·大连模拟) 计算： $\text{[math]}$ .

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24. (2022高三上·浦东模拟) 方程 $\text{[math]}$ 的解为.

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25. (2021高三上·福建月考) 设函数 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有四个实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、解答题

26. (2019·江南模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1 $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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27. (2018·潍坊模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的等差中项.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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28. (2017·奉贤模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （a＞0），且f（1）=2；
1. （1）求a和f（x）的单调区间；
2. （2） f（x+1）﹣f（x）＞2．
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29. (2016·襄阳模拟) 已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄的等差中项．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）设b_n=a_n•log₂a_n ，其前n项和为S_n ，若（n﹣1）²≤m（S_n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
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30. (2023高一下·宝山期末) 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为 $\text{[math]}$ ，经过3分钟覆盖面积为 $\text{[math]}$ ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与经过时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的关系现有三个函数模型：① $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），② $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），③ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）可供选择.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
2. （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 $\text{[math]}$ ？（结果保留到整数）
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31. (2023高一上·玉溪期末) 计算：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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32. (2023高一上·定州期末) 计算下列各式的值.
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，化简 $\text{[math]}$
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33. (2023高一上·钦州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）；
3. （3）在（2）的条件下，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有解，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最大值，若不存在，请说明理由.
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34. (2022高一上·贵港期末) 求值：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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35. (2023高一上·宣城期末)
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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