【备考2024】真题变式分层练：第21题—2023年高考数学...

更新时间：2023-10-03 浏览次数：91 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）是否存在a，b，使得曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在极值，求a的取值范围.
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二、基础

2. (2023高三上·哈尔滨开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点(1， $\text{[math]}$ )处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a、b的值；
2. （2）求证：当m≥，x＞1时，不等式m(e^x-e)>ef(x)恒成立．
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3. (2023高二下·鄠邑期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线倾斜角为 $\text{[math]}$ ，求a的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求a的最大值.
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4. (2024·宁德模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最值.
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5. (2023高二下·温州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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6. (2023高二下·镇巴县期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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7. (2023高二下·黄浦期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值.
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8. (2023高二下·清远期末) 已知函数f(x)=e^x+m+(m+1)x-xln x.
1. （1）若m=0，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
2. （2）若f(x)有两个极值点x₁ ， x₂ ，证明：x₁x₂<1.
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9. (2023高二下·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）证明：函数 $\text{[math]}$ 有两个零点．
3. （3）记 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两个零点，证明： $\text{[math]}$ ．
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10. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的切线，且经过原点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程及切点坐标．
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11. (2023高二下·成都期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求函数在区间 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值．
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三、提升

12. (2023高二下·酒泉期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ． ( $\text{[math]}$ 为自然对数的底数)
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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13. (2023高三上·上海市期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为正数且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 都成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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14. (2023高二下·花都期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
3. （3）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有唯一的实数根，直接写出实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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15. (2023·房山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时取得极小值，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若存在实数 $\text{[math]}$ ，使对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2023高二下·工农月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2023高三上·长安月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程.
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. (2023高三下·吉林) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的极值点个数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .
  （i）证明： $\text{[math]}$ ；
  
  （ii）证明： $\text{[math]}$ .
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19. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数b的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．
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20. (2023·诸暨模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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21. (2023·资阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数m，n的值；
2. （2）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立．
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四、培优

22. (2024高三上·硚口) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不等的实数根 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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23. (2023·北京卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的极值点个数．
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24. (2023·天津卷) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ ．
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25. (2023高二下·浙江期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 存在大于 $\text{[math]}$ 的零点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的极值点为 $\text{[math]}$ ；
  ①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  
  ②证明： $\text{[math]}$ ．
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26. (2023·黄埔) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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27. (2023·广州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时，对任意 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ ．
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28. (2023·柯桥模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， a为实数．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导函数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$
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