精选新定义型题—2024年浙教版数学七（上）期中复习

更新时间：2024-10-19 浏览次数：7 类型：复习试卷

一、有理数

1. (2023七上·瑞安期中) 小聪同学与小明同学约定了一种新运算：a△b=a^b-ab．小聪同学尝试计算2△4=2⁴-2×4=8，现在请小明同学计算(-4)△2=．

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2. (2023七上·吴兴期中) 已知x ， y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题．
1. （1）求2*4；
2. （2）求（2*5）*（﹣3）；
3. （3）任意选择两个有理数x ， y ，分别计算x*y和y*x ，并比较两个运算结果，你有何发现？
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3. (2023七上·义乌月考) 正整数n小于50，并且满足等式 $\text{[math]}$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[2]＝2，则满足等式的正整数的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 6 D . 8

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4. (2022七上·台州月考) 设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1]＝﹣1，[0]＝0，[﹣1.2]＝﹣2，则在以下四个结论中，正确的是（）

A . [a]+[﹣a]＝0 B . [a]+[﹣a]=0或﹣1 C . [a]+[﹣a]≠0 D . [a]+[﹣a]=0或1

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5. (2022七上·海曙期中) 对于任何有理数，我们规定符号 $\text{[math]}$ 的意义是 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 值为.

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6. (2024七上·益阳开学考) 若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\text{[math]}$ 1=2， 3!=3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 1=6，……，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 99！ C . 9900 D . 2！

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7. (2024七上·灵武期末) 【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“2的圈3次方”， $\text{[math]}$ 写作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的圈4次方”，一般地把 $\text{[math]}$ 写作a的圈n次方读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： $\text{[math]}$ _________； $\text{[math]}$ _________；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
$\text{[math]}$
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： $\text{[math]}$ _________， $\text{[math]}$ _________．
（3）算-算： $\text{[math]}$ ．

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8. 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．小尚同学尝试计算 $\text{[math]}$ ，现在请小志同学计算 $\text{[math]}$ ．

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9. (2023七上·期中) 定义新运算“*”，规定 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 18

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10. (2023七上·仙居期中) 规定如下两种运算： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的值为79，则 $\text{[math]}$

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11. (2023七上·海曙期中) 定义一种新运算， $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是。

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12. (2023七上·衢江期中) 定义一种运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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13. (2023七上·期中) 规定一种运算： $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -10 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 10

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14. (2023七上·海曙期中) 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序： $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. (2023八上·渠县期末) 对于实数 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 的含义为∶ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，例如∶ $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为两个连续正整数，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. (2023七上·綦江期中) 定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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17. (2023七上·衢州期中) 对于实数 $\text{[math]}$ ，我们规定[x]表示不大于 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .对数99进行如下操作： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数520变为1需要进行操作的次数是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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18. (2023七上·海曙期中) 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ ，读作“2的引4次商”.一般的，把 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“a的引n次商”.
1. （1）直接写出计算结果： $\text{[math]}$ =， $\text{[math]}$ =.
2. （2）归纳：负数的引正奇数次商是数，负数的引正偶数次商是数（填“正或负”）；
3. （3）计算： $\text{[math]}$ .
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19. (2023七上·金华期中) 概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a ， (n个a ， a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．
1. （1）初步探究：
  →2^④=2÷2÷2÷2=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ →
  ①直接写出计算结果：2^③=， $\text{[math]}$ =；
  ②关于除方，下列说法错误的是
  A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n ， 1^ⓝ=1；
  C.3^④=4^③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
2. （2）深入思考
  我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
  ①试一试：
  仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)^④= ▲ ；5^⑥= ▲ ； $\text{[math]}$ = ▲ ．
  ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
  ③算一算：12²÷ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ÷3³ ．
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20. (2023七上·金华期中) 观察下列两个等式：
2×＝2²－2×－2，
4×＝4²－2×－2，
给出如下定义：我们称使等式ab＝a²－2b－2成立的一对有理数a ， b为“方差有理数对”，记做(a ， b)，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“方差有理数对”．
1. （1）判断数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”，并说明理由．
2. （2）若(m ， 2)是“方差有理数对”，求－6m－3[m²－2(2m－1)]的值．
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二、数轴

21. (2023七上·镇海区期中) 阅读信息：
信息一： $\text{[math]}$ 的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如 $\text{[math]}$ 的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
信息二：对于有理数a，b，n，d，若 $\text{[math]}$ ，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如， $\text{[math]}$ ，则6和3关于1的“双倍关系值”为5．
根据以上信息回答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ 和5关于2的“双倍关系值”为______．
2. （2）若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于1的“双倍关系值”为2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于2的“双倍关系值”为2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于3的“双倍关系值”为2，…， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于21的“双倍关系值”为2．
  ① $\text{[math]}$ 的最大值为______；
  ② $\text{[math]}$ 的值为______（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．
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22. (2023七上·温岭期中) 阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A ， B ，若数轴上存在点M ，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”
解答下列问题：
1. （1）若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为；
2. （2）若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为，
3. （3）点A表示的数为-6，点C ， D表示的数分别是-2，0，点O为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段CD上一点（点B可以与点C与点D重合）．
  ①设点M表示的数为m ，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则m可取得整数有；
  ②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当t的整数值为时，点O可以为点A与点B的“亚运@未来点”．
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23. (2023七上·浙江期中) 对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到点N的距离为d(d≥0)，则称d为点M到点N的追击值，记作d[MN].例如，在数轴上点M表示的数是6，点N表示的数是2，则点M到点N的追击值d[MN]=4.
1. （1）若点P，Q都在数轴上，点Р表示的数是1，且点Р到点Q的追击值d[PQ]=a，则点Q表示的数是(用含a的代数式表示).
2. （2）如图，若点F从数-1出发，点G从数2出发，沿着数轴正方向同时移动，点F的速度为每秒4个单位，点G的速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒(t≥0).求当t为何值时，点F到点G的追击值d[FG]=2.
3. （3）若点A从数1出发，点B从数4出发，点E从数6出发，沿着数轴正方向同时移动，点A的速度为每秒4个单位，点B的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒4个单位，设运动时间为t秒(t≥0)，请探究d[AB]与d[BE]之间的数量关系.
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24. (2023七上·临海期中) 阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
1. （1）若点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为；
2. （2）若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为，点B表示的数为；
3. （3）点A表示的数为 $\text{[math]}$ ，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
  ①设点M表示的数为 $\text{[math]}$ ，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有；
  ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离 $\text{[math]}$ ，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为．
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三、实数

25. (2024七下·北京市期中) 任何实数a，可用 $\text{[math]}$ 表示不超过a的最大整数，如 $\text{[math]}$ ，现对72进行如下操作： $\text{[math]}$ ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

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26. (2023七上·浙江期中) 已知x，y为有理数，如果规定一种运算“@”，即x@y＝xy+x+y，试根据这种运算完成下列各题.
1. （1）求2@4；
2. （2）任意选择两个有理数x，y，分别计算x@y和y@x，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？
3. （3）求（2@ $\text{[math]}$ ）@（-3）.
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27. (2023七上·期中) ∵4<7<9，即2< $\text{[math]}$ <3，∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ -2．
请你观察上述式子规律后解决下面的问题．
1. （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，
  例如：[ $\text{[math]}$ ]=0，[π]=3．填空：[ $\text{[math]}$ +2]=，[5- $\text{[math]}$ ]=
2. （2）如果5+ $\text{[math]}$ 的小数部分为a，5- $\text{[math]}$ 的小数部分为b，求a+b的值．
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28. (2023七上·鄞州月考) 规定：用符号 $\text{[math]}$ 表示一个不大于实数x的最大整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．按这个规定，求 $\text{[math]}$ ．

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29. (2023八上·辉县市月考) 规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[ $\text{[math]}$ +1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣ $\text{[math]}$ ]＝﹣2.按这个规定，[﹣ $\text{[math]}$ ﹣1]＝.

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30. (2024七下·从江月考) 已知min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}＝min{ $\text{[math]}$ ， 9² ， 9}＝3．当min{ $\text{[math]}$ ， x² ， x}＝ $\text{[math]}$ 时，则x的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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31. (2024七下·莆田月考) 我们规定： $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数．如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现已知 $\text{[math]}$ 对所有正整数n成立，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、代数式

32. (2024七上·柯桥期中) 在实数范围内定义运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ．若代数式1-4b+2a的值是17，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . -8

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33. (2023七上·杭州期中) 定义：若 $\text{[math]}$ ，则称x与y是关于m的相关数．
1. （1）若5与a是关于2的相关数，则 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若A与B是关于m的相关数， $\text{[math]}$ ， B的值与m无关，求B的值．
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34. (2023七上·浙江期中) 设x，y都表示有理数，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
1. （1）请根据这种新运算定义计算 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .
2. （2）若实数a，b满足 $\text{[math]}$ .
  ①请直接写出a，b的值.
  ②求（a $\text{[math]}$ b） $\text{[math]}$ a的值.
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35. (2023七上·镇海区期中) 用“ $\text{[math]}$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为常数).例如： $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）若(-2)P2的值比 $\text{[math]}$ 的值大2，求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）若 $\text{[math]}$ 的值为5，求 $\text{[math]}$ 的值.
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36. (2023七上·浙江期中) 阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2-1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”.
1. （1）填空：①21是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
  ②最小的四位“亚运数”是.
2. （2）若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”.
3. （3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n⁴的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq-np取得最小时，称“m＝pq+n⁴”是m的“最小分解”，此时规定： $\text{[math]}$ ，
  例：18＝1×2+2⁴＝1×17+1⁴ ，因为1×17-1×1＞2×2-2×1，所以F（18）= $\text{[math]}$ ，求所有“冠军数”的F（m）的最大值.
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37. (2023七上·镇海区期中) 用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y ， xPy＝a²x²-2ay+1（a为常数）．例如：1P2＝a²×1²-2a×2+1＝a²-4a+1．
1. （1）当a＝1时，求2P（-3）的值；
2. （2）若（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，求a的值；
3. （3）若（-2）P2的值为5，求（-4）P8的值．
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38. (2023七上·温岭期中) 用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b ，规定a⊗b＝ab²+2ab+a ．如：1⊗3＝1×3²+2×1×3+1＝16．
1. （1）求2⊗（-1）的值；
2. （2）若（a-1）⊗3＝32，求a的值；
3. （3）若m＝2⊗x ， n＝（ $\text{[math]}$ x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
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39. (2023七上·温岭期中) 一般情况下 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
1. （1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝；
2. （2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式 $\text{[math]}$ m-[n+ $\text{[math]}$ （6-12n-15m）]的值为．
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40. (2023七上·) 对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如： $\text{[math]}$ ，其中称 $\text{[math]}$ 为“数1”， $\text{[math]}$ 为“数2”， $\text{[math]}$ 为“数3”， $\text{[math]}$ 为“数4”， $\text{[math]}$ 为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到： $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的个数是（）
①代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果②代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果③代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果④代数式 $\text{[math]}$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果

A . 0 B . 2 C . 3 D . 4

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