【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准...

更新时间：2023-08-31 浏览次数：203 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023高二上·广州期中) 如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ . 点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，当二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ .
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二、基础

2. (2022·唐山模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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3. (2022高三上·沧州月考) 如图，在多面体ABCEF中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面ACE，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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4. (2021高二上·河池期末) 在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E在线段 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）在（1）的条件下，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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5. (2022高二上·深圳期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成夹角的余弦值.
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6. (2022高三上·汕头期末) 如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱） $\text{[math]}$ 内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．若AC=BC，
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面COD与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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7. (2022·盐城月考) 在三棱柱中 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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8. (2022·凉山模拟) 如图1是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起使得 $\text{[math]}$ ，如图2.
1. （1）证明：图2中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）图2中，求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值.
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三、提高

9. (2023高二下·洛阳期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且直线PB与CD所成角的大小为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求BC的长；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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10. (2023高二下·河北期末) 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的高为3， $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形 $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 的内接等腰梯形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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11. (2023高二下·安康月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正三角形.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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12. (2023高二下·保山期末) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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13. (2023高二下·联合期末) 如图1，已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点 $\text{[math]}$ 的展开点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的展开点分别为 $\text{[math]}$ ），其中 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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14. (2023高二下·宁波期末) 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 $\text{[math]}$ 个圆柱拼接而成，点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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15. (2023高一下·衢州期末) 如图在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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16. (2023高二下·定远期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角．
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17. (2023高一下·温州期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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18. (2023高二下·湖州期末) 如图，圆台 $\text{[math]}$ 的上底面的半径为1，下底面的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆台下底面的一条直径， $\text{[math]}$ 是圆台上底面的一条半径， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的同侧，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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19. (2023高二下·宁波期末) 如图，正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ，体积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求正四棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，求直线AE与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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四、巅峰

20. (2023高二下·宁波期末) 在图1中，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．现沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ ，得到如图2所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，在图2中解答下列两问：
1. （1）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）若F在侧棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证：二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．
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21. (2023高二下·杨浦期末) 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，高为2，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一个动点（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均不重合）.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点时，求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）当平面 $\text{[math]}$ 将正四棱柱 $\text{[math]}$ 分割成体积之比为 $\text{[math]}$ 的两个部分时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.
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22. (2023高二下·金华期末) 如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在底面的射影为圆心 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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23. (2023高一下·长春期中) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，E为棱 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为棱 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且D为 $\text{[math]}$ 靠近B的三等分点，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若△ABC为等边三角形，且三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值的大小.
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24. (2023·全国甲卷) 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为1．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 距离为2，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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25. (2023·惠州模拟) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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26. (2023·淮南模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形且与底面垂直，E是棱PA上一点， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 平面EBD，求实数λ的值；
2. （2）当λ为何值时，平面EBD与平面PBD所成的锐二面角的大小为 $\text{[math]}$ ？
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27. (2023·安庆模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是等边三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值.
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28. (2023·赣州模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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29. (2023·昭通模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，且 $\text{[math]}$ ，则在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一动点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的大小为45°？若存在，请找出点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由.
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30. (2023高二上·武汉期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，AC＝BC，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ，点D在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明：平面 $\text{[math]}$ 平面ABD．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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