高中数学三轮复习（直击痛点）：专题21解析几何中的定点与定值...

更新时间：2024-02-23 浏览次数：25 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二上·成都月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 分别过定点A ， B ，且交于点P ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值是（）

A . 5 B . 8 C . 10 D . 16

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2. (2024高二上·密山期末) 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024·昌乐模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点， $\text{[math]}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·荆州市模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024·南宁模拟) 知椭圆C： $\text{[math]}$ 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂ ，直线y＝kx与椭圆C交于A ， B两点，|AF₁|＝3|BF₁|，且∠F₁AF₂＝60°，则椭圆C的离心率是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·海南高考模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二上·亳州期末) 已知两点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 有公共点，则直线 $\text{[math]}$ 倾斜角的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·重庆市期末) 已知椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ .若已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2024高三上·重庆月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

10. (2023高二上·成都月考) 点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为.

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11. (2023高二上·成都月考) 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率 $\text{[math]}$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为 $\text{[math]}$ 的椭圆，以 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的左焦点为 $\text{[math]}$ ， P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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12. (2024·潍坊期末) 已知圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l与圆O交于P、Q两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值等于．

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13. (2024·扬州模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不重合）线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线过点 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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14. (2024·巴南模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于坐标原点 $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ ，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于C ， D两点，则四边形ACBD面积的最小值为.

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15. (2024高一下·东坡期末) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为R ， r ，当 $\text{[math]}$ 时，椭圆的离心率为．

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16. (2024高三上·青海宁夏模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），则 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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17. (2024高三上·湖北期末) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左右顶点分别为 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 的任意一点.过右焦点作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则椭圆离心率的取值范围是.

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四、解答题

18. (2024高三上·重庆月考) 过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 取得最小值时直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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19. (2024·巴南模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆与直线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，记点M的轨迹为C.
1. （1）求C的方程；
2. （2）设点T在直线 $\text{[math]}$ 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P ， Q两点，连接 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为0，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.
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20. (2024高三上·昌乐模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率e满足 $\text{[math]}$ ，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l ，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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21. (2024·南宁模拟) 已知双曲线E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ， F₁到其中一条渐近线的距离为1，过F₁且垂直于x轴的直线交双曲线于A ， B ，且|AB|＝1．
1. （1）求E的方程；
2. （2）过Q（4，0）的直线l交曲线E于M ， N两点，若|MN|＝4，求直线l的方程．
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22. (2024高三上·辽宁五校联考期末) 在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 轴垂直，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率.
  （ⅰ）对于给定的数值 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 经过定点；
  （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.
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23. (2024高三上·瓜州期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个动点（ $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为4，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值.若存在，求出定点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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