压轴题05 三角函数、解三角形（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）-在线组卷

1. (2023·宣城模拟) 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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2. (2023·白山模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求角 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，且外接圆的半径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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3. (2023·江门模拟) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次组成等差数列.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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4. (2023·厦门模拟) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求B；
（2） A的角平分线与C的角平分线相交于点D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

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5. (2022·吉林模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的三个角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求边 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，且________，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的取值范围.
要求：从① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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6. (2023·合肥模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求A的大小；
（2）当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，试判断 $\text{[math]}$ 的形状．

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7. (2023·南通模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长度的取值范围.

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8. (2024高三下·永康开学考) 已知半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆弧上一点（异于点 $\text{[math]}$ ），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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9. (2022·延庆模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，求 $\text{[math]}$ 的面积.
条件①： $\text{[math]}$ ；
条件②： $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ；
条件③： $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ．

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10. (2022·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 $\text{[math]}$ 的解析式的两个作为已知．

（1）求 $\text{[math]}$ 的解析式及最小值；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；
条件②：函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ；
条件③：函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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11. (2022·湖南模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．

（1）若D为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最小值．

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12. (2022·内江模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
（2）设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且_________，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

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13. (2021高三上·上虞期末) 设 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ，点M为AC的中点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角B的大小；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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14. (2022高三上·聊城期末) 在 $\text{[math]}$ .中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求角 $\text{[math]}$ ；
（2）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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15. (2022高三上·罗湖期末) 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
（2）若边 $\text{[math]}$ 上的高为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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16. (2022·岳阳模拟) D为 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，且 $\text{[math]}$ ，求CD的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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17. (2022·信阳模拟) 如图，扇形 $\text{[math]}$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $\text{[math]}$ 区域的圆心角 $\text{[math]}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $\text{[math]}$ 区域外修建一条公路 $\text{[math]}$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\text{[math]}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $\text{[math]}$ （弧度），将公路 $\text{[math]}$ 的长度记为 $\text{[math]}$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．

（1）将y表示为 $\text{[math]}$ 的函数，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）求y的最小值，并求此时 $\text{[math]}$ 的值．

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18. (2022·普陀模拟) 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $\text{[math]}$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $\text{[math]}$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $\text{[math]}$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 平行，端点 $\text{[math]}$ 是该抛物线的顶点且为 $\text{[math]}$ 的中点，端点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

（1）求弯道段 $\text{[math]}$ 所确定的函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段 $\text{[math]}$ 上选取一点 $\text{[math]}$ 安装监控设备，使得点 $\text{[math]}$ 处监测 $\text{[math]}$ 段的张角 $\text{[math]}$ 最大，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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19. (2022·普陀模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为偶函数.

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
（2）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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20. (2022高三上·金山模拟) 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区， $\text{[math]}$ ，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若 $\text{[math]}$ ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

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21. (2022高三上·浦东模拟) 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为直线岸线， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\text{[math]}$ ，过弧 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 按线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 修建养殖网箱，已知 $\text{[math]}$ .

（1）求岸线上点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的直线距离；
（2）如果线段 $\text{[math]}$ 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段 $\text{[math]}$ 上的网箱每米可获得30元的经济收益.记 $\text{[math]}$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

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22. (2021高三上·烟台期中) 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足________.

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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23. (2021·义乌模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
（2）若函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的取值范围.

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24. (2021·肥城模拟) 已知锐角 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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25. (2021·贵阳模拟) 如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求BD的长；
（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；

②求四边形ABCD的周长的取值范围；

③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.

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26. (2021·福田模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内不存在零点，求正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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27. (2021·丹东模拟) 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数．

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．

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28. (2023高三上·呼和浩特期末) 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ 的面积为4，求 $\text{[math]}$ 的长．

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29. (2021·惠州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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30. (2021·奉贤模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）设 $\text{[math]}$ ，解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ .

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31. (2021高一下·浙江期中) 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

（1）求 $\text{[math]}$ 的对称轴；
（2）在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大面积.

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32. (2022·张掖模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ．令函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期和单调递增区间；
（2） $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于D．其中，函数 $\text{[math]}$ 恰好为函数 $\text{[math]}$ 的最大值，且此时 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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33. (2021·西城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

（1）确定 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）若 $\text{[math]}$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $\text{[math]}$ 上，求a的取值范围．
条件①： $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心为 $\text{[math]}$ ；

条件③； $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．

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