备考2024年高考数学提升专题特训：立体几何初步-在线组卷

1. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，M，N分别是B₁C₁ ， A₁D₁ ， A₁B₁ ， BD，B₁C的中点，求证：

（1） MN∥平面CDD₁C₁ ．
（2）平面EBD∥平面FGA．

2. (2023高二上·梅河口开学考) 如图，长方体 $\text{[math]}$ 的体积是24，E为 $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 将长方体分成三棱锥 $\text{[math]}$ 和多面体 $\text{[math]}$ 两部分．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求多面体 $\text{[math]}$ 的表面积；
（2）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

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3. (2023高一下·联合期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AB＝2， $\text{[math]}$ ， △PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，点Q是线段PC的中点．

（1）求三棱锥Q－PAD的体积；
（2）求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．

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4. (2023高三上·阳江开学考) 在正三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

（1）请作出 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ ，并写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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5. (2023高三上·闵行月考) 圆柱的轴截面ABCD是正方形， $\text{[math]}$ 是底面圆周上一点，DC与AE成 $\text{[math]}$ 角， $\text{[math]}$ ．

（1）求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；
（2）求点B到平面AEC的距离．

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6.

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中被截去一部分，

（1）其中EF∥A₁D₁ ．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？

（2）若FH∥EG，但FH＜EG，截取的几何体是什么？

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7. (2019高一上·集宁月考) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ (图1)的三视图如图2所示， $\text{[math]}$ 为正三角形， $\text{[math]}$ 垂直底面 $\text{[math]}$ ，俯视图是直角梯形．

图1 图2

（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
（3）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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8. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．求证：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；
（2） $\text{[math]}$ ．

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9.

如图，是一个几何体的三视图，若它的体积是 $\text{[math]}$ ，求a的值，并求此几何体的表面积．

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10. (2023高一下·沈阳期末) 如图，在正六棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为底面中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球 $\text{[math]}$ 的表面上，求球 $\text{[math]}$ 的表面积和体积．

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11. (2023高一下·台州期中) 台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切 $\text{[math]}$ 内壁厚度忽略不计 $\text{[math]}$ ，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋 $\text{[math]}$ 已知该模具底部边长为 $\text{[math]}$ ．

⑴求内壁的面积；

⑵求制作该模具所需材料的体积；

⑶求模具顶点到内壁的最短距离．

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12. (2023高二上·福州期中) 如图，已知平面四边形 $\text{[math]}$ 存在外接圆，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
（2）求 $\text{[math]}$ 的周长的最大值．

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13. (2024高二上·密山期末) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ， F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ， d与a ， b ，且a＞c ， b＞d ，两底面间的距离为h ．

（1）求侧面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成二面角的大小；
（2）证明： $\text{[math]}$ ；
（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 $\text{[math]}$ 来计算，已知它的体积公式是 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 与V的大小关系，并加以证明．
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．

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14. (2023高一下·成都期末) 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

（1）以r为变量，表示圆柱的表面积 $\text{[math]}$ 和体积 $\text{[math]}$ ；
（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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15. (2023高二上·上海市月考) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，E ， F分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：E ， F ， D ， B四点共面．
（2）证明：BE ， DF ， $\text{[math]}$ 三线共点．

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16. (2023高二上·闽清月考) 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 的底面是菱形，且 $\text{[math]}$

（1）用空间的一个基底 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

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17. (2024高三上·重庆月考) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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18. (2023高三上·成都月考) 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 中，M为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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19. (2023高二上·达州月考) 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值。

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20. (2023高二上·宾县月考) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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21. (2024·永州模拟) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形，且 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．

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22. (2023高二上·成都月考) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点.底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .