⑴小明说: 与 之间的函数关系为 ;
⑵小刚说: 与 之间的函数关系为 ;
⑶小聪说: 与 之间的函数关系在 时, ;在 时, ;
⑷小斌说;我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系.
购买量/本 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
付款金额/元 | 8 | 16 | 24 | 32 | … | 72 | 80 | 86.4 | 92.8 | … |
其中,表示函数关系正确的个数有( )
①当时,随的增大而增大;②当时,有最小值0,没有最大值;
③该函数的图象关于轴对称;④若该函数的图象与直线(为常数)至少有3个交点,则 . 其中正确的结论是.(请填写序号)
有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟,为了使效果更好,要求学生的注意力指数最低值达到最大.那么,教师经过适当安排,应在上课的第分钟开始讲解这道题.
如图1,一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上,为4米,如果木棍的顶端沿墙下滑米,底端向外移动米,下滑后的木棍记为 , 则与满足的等式 , 即关于的函数解析式为 , 小明利用画图软件画出了该函数图象如图2,
①在函数中,自变量的取值范围是;
②列表:
|
… |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
|
… |
0 |
|
|
|
|
|
… |
其中,;
③描点、连线,在平面直角坐标系中,画出的图象;
性质1:;
性质2:;
小明根据学习函数的经验,对线段BE,BP,BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整:
位置1 |
位置2 |
位置3 |
位置4 |
位置5 |
位置6 |
位置7 |
位置8 |
|
BC/cm |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
2.83 |
BE/cm |
2.10 |
1.32 |
0.53 |
0.00 |
1.32 |
2.10 |
4.37 |
5.6 |
BP/cm |
0.52 |
1.07 |
1.63 |
2.00 |
2.92 |
3.48 |
5.09 |
5.97 |
在BE,BP,BC的长度这三个量中,确定的长度是自变量,的长度和的长度都是这个自变量的函数,的长度是常量。
小何根据学习函数的经验,将此问题转化为函数问题解决.
小华假设AE的长度为xcm,线段DE的长度为ycm.
(当点C与点A重合时,AE的长度为0cm),对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是小何的探究过程,请补充完整:(说明:相关数据保留一位小数).
x/cm |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
y/cm |
0 |
1.6 |
2.5 |
3.3 |
4.0 |
4.7 |
|
5.8 |
5.7 |
当x=6cm时,请你在图中帮助小何完成作图,并使用刻度尺度量此时线段DE的长度,填写在表格空白处:
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
x/cm |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
… |
y/cm2 |
4.0 |
3.7 |
|
3.9 |
|
3.8 |
3.3 |
2.0 |
… |
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
若A(m,n),B(6,n)为该函数图象上不同的两点,则m= ▲ ;
如图,点C是上一动点,直径 , 过点C作交于点D,O为AB的中点,连接OC,OD,当的面积为时,求线段CD的长.
小航结合学习函数的经验探究此问题,请将下面的探究过程补充完整:
0 |
1.0 |
2.0 |
3.0 |
4.0 |
5.0 |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
|
0 |
2.0 |
3.9 |
5.6 |
m |
7.8 |
7.9 |
6.8 |
0 |
填空:m=.(结果保留一位小数,参考数据: , )
①该函数图象为抛物线的一部分;( )
②当时,y随x的增大而增大;( )
③的面积有最大值.( )
x/cm | … | 1 | 2 | 3 | … | ||||
y/cm | … | 0.4 | 0.8 | 1.0 | m | 1.0 | 0 | 4.0 | … |
则表中m的值为.(保留一位小数)
x |
… |
|
|
|
|
|
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 | … |
y | … | m |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 0 |
| 1 |
| n | … |
其中, , .
①点 ,在函数图象上,则 , ;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值时 ,求自变量x的值;
①当x<-3时,y=
②当-3≤x≤1时,y=
③当x>1时,y=
已知A(a,0)是x轴上一动点,B(1,0),C(-3,0),则AB+AC的最小值是
小刚根据学习函数的经验,对因变量 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小刚的探究过程,请补充完整.
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
4.5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
6.00 |
5.76 |
5.53 |
5.31 |
5.09 |
4.88 |
4.69 |
4.50 |
4.33 |
4.17 |
4.02 |
3.79 |
3.65 |
请你通过计算补全表格: ;
下面根据学习函数的过程和方法,探究分段函数的相关性质和应用.
写出该分段函数的一条性质:;
15 |
30 |
45 |
60 |
75 |
90 |
105 |
120 |
135 |
150 |
165 |
|
1.72 |
1.08 |
0.37 |
0 |
0.73 |
1.08 |
1.41 |
1.72 |
描点、连线:在图2中描出表中各组数值所对应的点 ,并画出 关于 的函数图象.
①;
②.
x(s) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
y( ) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 2.7 | 2.7 | m | 3.6 |
m的值是.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整.
x/cm |
0 |
0.6 |
1.2 |
1.8 |
2.3 |
2.9 |
3.4 |
3.5 |
4.0 |
4.3 |
4.5 |
4.7 |
4.8 |
y/cm |
a |
4.6 |
4.3 |
3.9 |
3.6 |
3.1 |
2.6 |
2.4 |
b |
1.2 |
0.9 |
0.4 |
0.2 |
请你补全表格:a=;b=.
如图,在平面直角坐标系 中,描出以上表中各对对应值为坐标的点.
根据描出的点,画出该函数的图象,标出函数的解析式.
【探究发现】
某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后,掌握了函数的探究路径,即:定义→图像→性质→应用,他们尝试沿着此路径探究下列情景问题:
点A是数轴上一点,表示的数是2;点B是数轴上一动点,若它表示的数是x , 的距离为 . 随着x的变化,的距离y会如何变化呢?
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||||
4 | m | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
其中m=.
数学小组发现给定一个x的值,就会有唯一的一个y值与之对应,y是x的函数吗?(填“是”或“不是”);
若点 , 均在该函数图象上,请直接写出a , b满足的数量关系:;
(备注:直线y=2即过点且与x轴平行的直线.)
小聪根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的 与x之间的变化规律,分别对函数 的图象与性质进行了探究.
下面是小聪的探究过程,请补充完整:
①当 时,对应的函数值 约为;
②写出函数 的一条性质:;
③当 时, 的取值范围是.
⑴小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当 时,通过推理计算可得 的长为 .但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到 的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
⑵小星将线段 的长度记为 , 和 的长度分别记为 , ,并分别对函数 , 随着自变量 的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:
|
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|
|
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|
|
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|
①在探究过程中,小星发现当 时,无须测量可以求出 的长,此时 的长约为 (结果精确到 .参考数据: ).
②利用表格中的数据,小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了 关于 的函数图象,请你根据上文中 和 的 组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出 关于 的函数图象
⑶小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式: , 并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
⑷请结合图象直接写出:当 是 或 的 倍时, 的长约为(结果精确到 ).
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 |
| 1 | 0 |
| 2 | 3 |
根据上表可知, , .
①用 的代数式表示 .
②结合函数图象.解决问题:当 时, 的取值范围为.
|
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|
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|
|
|
|
① ;
②若 , 为该函数图象上不同的两点,则 ;
②写出函数图象的两条性质: ;
③若方程有两个实数解,求的取值范围: ;
④当时的取值范围是 ;
⑤将沿轴至少平移 个单位长度,能使与的函数图象无交点?
请根据以上信息,解答下列问题:
x |
0 |
3 |
6 |
y |
3 |
0 |
3 |
利用图像解下列方程或不等式.
Ⅰ.如图①,方程ax2+bx+c-m=0的解为;
Ⅱ.如图②,不等式kx+b< 的解为.
已知函数y1=|60-x|,y2=|120-x|.
Ⅰ.利用分类思想,可将函数y1=|60-x|先转化为 ,然后分别画出y1=60-x的图像x≤60的部分和y1=x-60的图像x>60的部分,就可以得到函数y1=|60-x|的图像,如图③所示.请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120-x|的图像.
Ⅱ.已知min{m,n} =m(m≤n),例如:min{1,-2} =-2.若y=min{y1 , y2}的图像为W,请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积.
有一条长为600米的步行道OA,A是垃圾投放点w1,若以O为原点,OA为x轴正半轴建立直角坐标系,设B(x,0),现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2(t,0),点B与w1的距离为d1=|600-x|,点B与w2的距离为d2=|x-t|,d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离,即:d=min{d1,d2}.若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度,面积越小越便利.问:垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利?
x |
… |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
y |
… |
3 |
m |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
n |
… |
其中,m= , n=.
①点A( ,y1),B(5,y2),C(x1 , ),D(x2 , 6)在函数图象上,则y1 ▲ y2 , x1 ▲ x2;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值y=1时,求自变量x的值;
如图1,点 是半圆 上一动点,线段AB=6,CD平分 ,过点 作 交 于点 ,连接 .当 为等腰三角形时,求线段 的长度.
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 的长度作为自变量 , , 和 的长度都是 的函数,分别记为 , 和 .请将下面的探究过程补充完整:
0 |
1.0 |
2.0 |
3.0 |
4.0 |
4.5 |
5.0 |
5.5 |
6 |
|
6 |
5.9 |
5.7 |
5.2 |
4.5 |
a |
3.3 |
2.4 |
0 |
|
6 |
5.0 |
4.2 |
3.7 |
4 |
4.5 |
5.3 |
6.3 |
8.5 |
①上表中 的值是 ▲
②操作中发现,“无需测量线段 的长度即可得到 关于 的函数解析式”.请直接写出 关于 的函数解析式.
①请在同一个坐标系中画出函数 和 的图象;
②结合图象直接写出当 为等腰三角形时,线段 长度的近似值(结果保留一位小数).