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备考2024年中考数学探究性训练专题16 分段函数与函数动点...

更新时间:2024-03-24 浏览次数:29 类型:二轮复习
一、选择题
  • 1. (2021七下·清苑期末) 某书定价8元,如果一次购买10本以上,超过10本部分打八折,那么付款金额 ,与购书数量 之间的函数关系如何,同学们对此展开了讨论:

    ⑴小明说: 之间的函数关系为

    ⑵小刚说: 之间的函数关系为

    ⑶小聪说: 之间的函数关系在 时, ;在 时,

    ⑷小斌说;我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系.

    购买量/本

    1

    2

    3

    4

    9

    10

    11

    12

    付款金额/元

    8

    16

    24

    32

    72

    80

    86.4

    92.8

    其中,表示函数关系正确的个数有(    )

    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
二、填空题
  • 2. (2023八下·武昌期末) 小明同学在研究函数为常数)时,得到以下四个结论:

    ①当时,的增大而增大;②当时,有最小值0,没有最大值;

    ③该函数的图象关于轴对称;④若该函数的图象与直线为常数)至少有3个交点,则 . 其中正确的结论是.(请填写序号)

  • 3. (2017九上·乐清月考) 心理学家研究发现:一般情形下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态,随后学生的汪意力开始分散.经过实验分析,知学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律为:

    有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟,为了使效果更好,要求学生的注意力指数最低值达到最大.那么,教师经过适当安排,应在上课的第分钟开始讲解这道题.

  • 4. (2021八下·温岭期末) 在数学综合实践课中,小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索:

    如图1,一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上,为4米,如果木棍的顶端沿墙下滑米,底端向外移动米,下滑后的木棍记为 , 则满足的等式 , 即关于的函数解析式为 , 小明利用画图软件画出了该函数图象如图2,

    1. (1) 请写出图象上点的坐标(1,
    2. (2) 根据图象,当的取值范围为时,的周长大于的周长.
三、数形结合探究题
  • 5. (2023八下·沙坪坝月考) 小飞哥根据学习“一次函数”时积累的经验,对函数的图象与性质进行了探究,下面是小飞哥的探究过程,请补充完整:
    1. (1) 平面直角坐标系中,画出函数的图象:

      ①在函数中,自变量的取值范围是

      ②列表:

                                                                                                                                                                          

               

               

               

      0

      1

      2

      3

               

      0

               

               

               

               

               

      其中,

      ③描点、连线,在平面直角坐标系中,画出的图象;

    2. (2) 结合所画函数图象,写出两条不同类型的性质;

      性质1:

      性质2:

    3. (3) 小飞哥利用所画函数图象,估算不等式的解集是.  
  • 6. (2020·北京模拟) 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P为射线BA上一个动点,连接PC,点D在直线BC上,且PD=PC。过点P作EP⊥PC于点P,点D,E在直线AC的同侧,且PE=PC,连接BE。请用等式表示线段BE,BP,BC之间的数量关系。

    小明根据学习函数的经验,对线段BE,BP,BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整:

    1. (1) 对于点PC在射线BA上的不同位置,画图、测量,得到了线段BE,BP,BC的长度的几组值,如下表:

      位置1

      位置2

      位置3

      位置4

      位置5

      位置6

      位置7

      位置8

      BC/cm

      2.83

      2.83

      2.83

      2.83

      2.83

      2.83

      2.83

      2.83

      BE/cm

      2.10

      1.32

      0.53

      0.00

      1.32

      2.10

      4.37

      5.6

      BP/cm

      0.52

      1.07

      1.63

      2.00

      2.92

      3.48

      5.09

      5.97

      在BE,BP,BC的长度这三个量中,确定的长度是自变量,的长度和的长度都是这个自变量的函数,的长度是常量。

    2. (2) 在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;
    3. (3) 结合函数图象,解决问题:请用等式表示线段BE,BP,BC之间的数量关系。
  • 7. (2020·鼓楼模拟) 如图1,AB为半圆O的直径,半径的长为4cm,点C为半圆上一动点,过点C作CE⊥AB,垂足为点E,点D为弧AC的中点,连接DE,如果DE=2OE,求线段AE的长.

    小何根据学习函数的经验,将此问题转化为函数问题解决.

    小华假设AE的长度为xcm,线段DE的长度为ycm.

    (当点C与点A重合时,AE的长度为0cm),对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.

    下面是小何的探究过程,请补充完整:(说明:相关数据保留一位小数).

    1. (1) 通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:

      x/cm

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      7

      8

      y/cm

      0

      1.6

      2.5

      3.3

      4.0

      4.7

      5.8

      5.7

      当x=6cm时,请你在图中帮助小何完成作图,并使用刻度尺度量此时线段DE的长度,填写在表格空白处:

    2. (2) 在图2中建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
    3. (3) 结合画出的函数图象解决问题,当DE=2OE时,AE的长度约为cm.
  • 8. (2019九上·朝阳期中) 如图,点E是矩形ABCD边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,设A,E两点间的距离为xcm,△DEF面积为ycm2

    小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

    下面是小明的探究过程,请补充完整:

    1. (1) 确定自变量x的取值范围是
    2. (2) 通过取点、画图、测量、分析,得到了x与y的几组值,如表:

       x/cm

       0

       0.5

      1

       1.5

      2

      2.5

       3

      3.5

       y/cm2

       4.0

      3.7

       

       3.9

       

       3.8

      3.3

       2.0

      (说明:补全表格时相关数值保留一位小数)

    3. (3) 建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

    4. (4) 结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF面积最大时,AE的长度为cm.

  • 9. (2022八下·郑州期中) 问题探究:嘉嘉同学根据学习函数的经验,对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究.下面是嘉嘉的探究过程,请你解决相关问题:
    1. (1) 如图,嘉嘉同学在平面直角坐标系中,描出了以表中各对对应值为坐标的点,请你根据描出的点,画出该函数的图象:

      若A(m,n),B(6,n)为该函数图象上不同的两点,则m=      ▲      

    2. (2) 观察函数y=-2|x|+5的图象,写出该图象的两条性质;
    3. (3) 直接写出,当0<-2|x|+5≤3时,自变量x的取值范围.
  • 10. (2022·信阳模拟) 小航在学习中遇到这样一个问题:

    如图,点C是上一动点,直径 , 过点C作于点D,O为AB的中点,连接OC,OD,当的面积为时,求线段CD的长.

    小航结合学习函数的经验探究此问题,请将下面的探究过程补充完整:

    1. (1) 根据点C在上的不同位置,画出相应的图形,测量、计算线段CD的长度和的面积得到下表的几组对应值(当点C与点A或点B重合时,的面积为0).

      0

      1.0

      2.0

      3.0

      4.0

      5.0

      6.0

      7.0

      8.0

      0

      2.0

      3.9

      5.6

      m

      7.8

      7.9

      6.8

      0

      填空:m=.(结果保留一位小数,参考数据:

    2. (2) 将线段CD的长度作为自变量x(cm),的面积是x的函数,记为 , 请在如下平面直角坐标系xOy中画出y关于x的函数图象,并根据图象判断下列说法是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

      ①该函数图象为抛物线的一部分;(   )

      ②当时,y随x的增大而增大;(   )

      的面积有最大值.(   )

    3. (3) 继续在同一坐标系中画出所需的图象,并结合图象直接写出:当的面积为时,线段CD长度的近似值.(结果保留一位小数)
  • 11. (2022·衢州模拟) 如图1,中,cm,点D为AB边上的动点(点D不与点A,B重合),过点D作交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动的过程中,设cm,cm.根据学习函数的经验,可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究,请将探究过程补充完整:

    1. (1) 通过取点、画图、测量或计算,得到了x与y的几组值,如下表:

      x/cm

      1

      2

      3

      y/cm

      0.4

      0.8

      1.0

      m

      1.0

      0

      4.0

      则表中m的值为.(保留一位小数)

    2. (2) 在图2的平面直角坐标系中,以表格中各对x,y的值为坐标描点,并画出该函数的大致图象;
    3. (3) 结合(2)中画出的函数图象,解决问题:当时,AD的长度约为cm.
  • 12. (2021·驿城模拟) 若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数,下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数 的图象与性质,探究过程如下,请补充完整.
    1. (1) 列表:

      x

      0

      1

      2

      3

      y

      m

      1

      2

      1

      0

      1

      n

      其中, .

    2. (2) 描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示,请画出函数的图象.

    3. (3) 研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:

      ①点 ,在函数图象上,则 ;(填“>”,“=”或“<”)

      ②当函数值时 ,求自变量x的值;

  • 13. (2020·重庆模拟) 小东同学根据函数的学习经验,对函数y = + 进行了探究,

    下面是他的探究过程:

    1. (1) 已知x=-3时 = 0;x=1 时 = 0,化简:

      ①当x<-3时,y=

      ②当-3≤x≤1时,y=

      ③当x>1时,y=

    2. (2) 在平面直角坐标系中画出y = + 的图像,根据图像,写出该函数的一条性质.
    3. (3) 根据上面的探究解决,下面问题:

      已知A(a,0)是x轴上一动点,B(1,0),C(-3,0),则AB+AC的最小值是

  • 14. (2021·兰州) 中, ,将 绕点 顺时针旋转,角的两边分别交射线 两点, 上一点,连接 ,且 (当点 重合时,点 也重合).设 两点间的距离为 两点间的距离为 .

    小刚根据学习函数的经验,对因变量 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.

    下面是小刚的探究过程,请补充完整.

    1. (1) 列表:下表的已知数据是根据 两点间的距离 进行取点,画图,测量分别得到了 的几组对应值;

      0

      0.5

      1

      1.5

      2

      2.5

      3

      3.5

      4

      4.5

      5

      6

      7

      8

      6.00

      5.76

      5.53

      5.31

      5.09

      4.88

      4.69

      4.50

      4.33

      4.17

      4.02

      3.79

      3.65

      请你通过计算补全表格:

    2. (2) 描点、连线:在平面直角坐标系 中,描出表中各组数值所对应的点 ,并画出函数 关于 的图象;

    3. (3) 探究性质:随着自变量 的不断增大,函数 的变化趋势;
    4. (4) 解决问题:当 时, 的长度大约是 .(结果保留两位小数)
  • 15. (2023九上·长春期中) 利用函数图象探究方程x|x-2|=的实数根的个数.

    1. (1) 设函数y=x|x-2|,则这个函数的图象与直线y=的交点的坐标(填横或纵)就是方程x|x-2|=的实数根.
    2. (2) 分类讨论:当x<2时,y=-x2+2x;当x≥2时,y=
    3. (3) 在给定的坐标系中,已经画出了当x≥2时的函数图象,请根据(2)中的解析式,通过描点,连线,画出当x<2时的函数图象.
    4. (4) 在给定的坐标系中画直线y= , 观察图象可知方程x|x-2|=的实数根有个.
    5. (5) 深入探究:若关于x的方程2x|x-2|=m有3个实数根,则m的取值范围是
  • 16. (2023九上·榆树月考) 在函数的学习过程中,我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程.

    下面根据学习函数的过程和方法,探究分段函数的相关性质和应用.

    1. (1) 在如图所示的平面直角坐标系中,画出了分段函数图象的一部分,补全该分段函数的图象.

      写出该分段函数的一条性质:

    2. (2) 直线与该分段函数的图象有个交点,则的取值范围是
    3. (3) 若该分段函数图象上有两点 , 且 , 则的取值范围是
    4. (4) 当时,函数值的取值范围为 , 当取某个范围内的任意值时,为定值,直接写出满足条件的的取值范围及其对应的值.
  • 17. (2022·江北模拟) 如图1 ,在菱形 中, ,连结 .设 , 小宁根据学习函数的经验,对变量 之间的关系进行了如下探究.

    1. (1) 【探究】列表:通过观察补全下表(精确到 0.01).

      15

      30

      45

      60

      75

      90

      105

      120

      135

      150

      165

      1.72

       

      1.08

       

      0.37

      0

       

      0.73

      1.08

      1.41

      1.72

      描点、连线:在图2中描出表中各组数值所对应的点 ,并画出 关于 的函数图象.

    2. (2) 【发现】结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:

    3. (3) 【应用】有一种 “千斤顶”,它是由4根长为 的连杆组成的菱形 ,当手柄顺时针旋转时, 两点的距离变小(如图 3).在这个过程中,当 时, 的度数约为.(精确到1°).
  • 18. (2020八上·北京月考) 如图,在 中, 厘米, 厘米,点P从点B出发,沿 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A . 设点P的运动时间为x秒,BP两点间的距离为y厘米.小新根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小新的探究过程,请补充完整:

    1. (1) 通过取点、画图、测量,得到了xy的几组值,如下表:

      x(s)

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      7

      y

      0

      1.0

      2.0

      3.0

      2.7

      2.7

      m

      3.6

      m的值是

    2. (2) 建立平面直角坐标系,描出表格中所有各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

    3. (3) 结合画出的函数图象,解决问题:在曲线部分的最低点时,在 中画出点P所在的位置,此时P运动的时间为  ▲
  • 19. (2020九上·金水月考) 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点D是AB的中点,以D为顶点作∠MDN=∠A,∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N(点M在点N左边).设A,M两点间的距离为xcm,C、N两点间的距离为ycm.

    小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整.

    1. (1) 列表:下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分别得到了x与y的几组对应值:

      x/cm

      0

      0.6

      1.2

      1.8

      2.3

      2.9

      3.4

      3.5

      4.0

      4.3

      4.5

      4.7

      4.8

      y/cm

      a

      4.6

      4.3

      3.9

      3.6

      3.1

      2.6

      2.4

      b

      1.2

      0.9

      0.4

      0.2

      请你补全表格:a=;b=.

    2. (2) 描点、连线:在平面直角坐标系xOy中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象:
    3. (3) 探究性质:随着自变量x的不断增大,函数y的变化趋势:.
    4. (4) 解决问题:当AM=CN时,A、M两点间的距离大约是cm.(保留一位小数)
  • 20. (2020九下·北碚月考) 某数学小组对函数y1 图象和性质进行探究.当x=4时,y1=0.

    1. (1) 当x=5时,求y1的值;
    2. (2) 在给出的平面直角坐标系中,补全这个函数的图象,并写出这个函数的一条性质;
    3. (3) 进一步探究函数图象并解决问题:已知函数y2=﹣ 的图象如图所示,结合函数y1的图象,直接写出不等式y1≥y2的解集.
  • 21. (2017八下·海淀期中) 有这样一个问题:探究函数 的图象与性质.小美根据学习函数的经验,对函数 的图象与性质进行了探究.下面是小美的探究过程,请补充完整:
    1. (1) 函数 的自变量 的取值范围是
    2. (2) 下表是 的几组对应值.

      如图,在平面直角坐标系 中,描出以上表中各对对应值为坐标的点.

      根据描出的点,画出该函数的图象,标出函数的解析式.

    3. (3) 结合函数的图象,写出该函数的一条性质:
  • 22. (2024八上·龙岗期末) 探究与应用

    【探究发现】

    某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后,掌握了函数的探究路径,即:定义→图像→性质→应用,他们尝试沿着此路径探究下列情景问题:

    A是数轴上一点,表示的数是2;点B是数轴上一动点,若它表示的数是x的距离为 . 随着x的变化,的距离y会如何变化呢?

    1. (1) 数学小组通过列表得到以下数据:

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      4

      m

      2

      1

      0

      1

      2

      3

      其中m=

      数学小组发现给定一个x的值,就会有唯一的一个y值与之对应,yx的函数吗?(填“是”或“不是”);

    2. (2) 请通过描点、连线画出该函数图象,并根据函数图象写出该函数的一条性质:    ▲    

    3. (3) 【应用拓展】

      若点均在该函数图象上,请直接写出ab满足的数量关系:

    4. (4) 将该函数图象在直线上方的部分保持不变,下方的图象沿直线进行翻折,得到新函数图象,若一次函数与该函数图象只有一个交点,则k的取值范围为

      (备注:直线y=2即过点且与x轴平行的直线.)

  • 23. (2020·北京模拟) 已知 均是x的函数,下表是 的几组对应值.

    小聪根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的 与x之间的变化规律,分别对函数 的图象与性质进行了探究.

    下面是小聪的探究过程,请补充完整:

    1. (1) 如图,在同一平面直角坐标系 中,描出上表中各组数值所对应的点 ,并画出函数 的图象;

    2. (2) 结合画出的函数图象,解决问题:

      ①当 时,对应的函数值 约为

      ②写出函数 的一条性质:

      ③当 时, 的取值范围是

  • 24. (2021·郑州模拟) 小星在学习中遇到这样一个问题:如图1 中, ,点 在线段 上,且 ,点 是线段 上一动点,连接 ,以 为圆心、 的长为半径画弧交线段 于点 ,连接 ,当 中某条边的 倍时,求 的长.小星的探究过程如下:

    ⑴小星分析发现,有三种可能存在的情况,其中,当 时,通过推理计算可得 的长为          .但当他进一步研究其余两种情况时,发现很难通过常规的推理计算得到 的长,于是尝试利用学习函数的经验解决问题.

    ⑵小星将线段 的长度记为 的长度分别记为 ,并分别对函数 随着自变量 的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量,得到了下表中的几组对应值:

     

    ①在探究过程中,小星发现当 时,无须测量可以求出 的长,此时 的长约为         (结果精确到 .参考数据: ).

    ②利用表格中的数据,小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了 关于 的函数图象,请你根据上文中 组对应值在此平面直角坐标系中描点,并画出 关于 的函数图象

    ⑶小星发现,想用函数图象彻底解决这个问题,还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象,请直接写出这个函数的解析式:         , 并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.

    ⑷请结合图象直接写出:当 倍时, 的长约为(结果精确到 ).

  • 25. (2020八上·余姚期末) 如图,在 中, 的中点, 是边 上一动点,连结 ,取 的中点 ,连结 .小梦根据学习函数的经验,对 的面积与 的长度之间的关系进行了探究:

    1. (1) 设 的长度为 的面积 ,通过取 边上的不同位置的点 ,经分析和计算,得到了 的几组值,如下表:

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      3

      1

      0

      2

      3

      根据上表可知, .

    2. (2) 在平面直角坐标系 中,画出(1)中所确定的函数的图象.

    3. (3) 在(1)的条件下,令 的面积为 .

      ①用 的代数式表示 .

      ②结合函数图象.解决问题:当 时, 的取值范围为.

  • 26. (2023八下·南岸期中) 小颖根据学习函数的经验,对函数的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程,请你补充完整

    1. (1) 列表:                                                                                                                                                                                   

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

               

        ;

      ②若为该函数图象上不同的两点,则  ;

    2. (2) 描点并画出该函数的图象;
    3. (3) ①根据函数图象可得:该函数的最大值为 ;

      ②写出函数图象的两条性质: ;

      ③若方程有两个实数解,求的取值范围: ;

      ④当的取值范围是 ;

      ⑤将沿轴至少平移 个单位长度,能使的函数图象无交点?

  • 27. (2023七下·邛崃期末) 如图,在中,点D是边的中点,点E是边上的一个动点,连接 . 设的面积为y,的长为x,小明对变量x和y之间的关系进行了探究,得到了如下的数据:

    请根据以上信息,解答下列问题:

      

                                                                                                  

    x    

    0   

    3   

    6   

    y

    3

    0

    3

    1. (1) 题中的自变量和因变量分别是什么?当时,y的值是多少?直接写出的值;
    2. (2) 当的面积为面积的时,求出x的值.
  • 28. (2021九下·盐城期中) 八年级下册,我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系,学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式.例如:一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解;一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集.

    1. (1) 【类比解决】

      利用图像解下列方程或不等式.

      Ⅰ.如图①,方程ax2+bx+c-m=0的解为

      Ⅱ.如图②,不等式kx+b< 的解为

    2. (2) 【拓展探究】

      已知函数y1=|60-x|,y2=|120-x|.

      Ⅰ.利用分类思想,可将函数y1=|60-x|先转化为 ,然后分别画出y1=60-x的图像x≤60的部分和y1=x-60的图像x>60的部分,就可以得到函数y1=|60-x|的图像,如图③所示.请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120-x|的图像.

      Ⅱ.已知min{m,n} =m(m≤n),例如:min{1,-2} =-2.若y=min{y1 , y2}的图像为W,请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积.

    3. (3) 【实际应用】

      有一条长为600米的步行道OA,A是垃圾投放点w1,若以O为原点,OA为x轴正半轴建立直角坐标系,设B(x,0),现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2(t,0),点B与w1的距离为d1=|600-x|,点B与w2的距离为d2=|x-t|,d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离,即:d=min{d1,d2}.若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度,面积越小越便利.问:垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利?

  • 29. (2020·许昌模拟) 若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数,下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y= 的图象与性质,探究过程如下,请补充完整.
    1. (1) 列表:

      x

      -4

      -3

      -2

      -1

      0

      1

      2

      3

      4

      y

      3

      m

      1

      0

      1

      2

      1

      n

      其中,m= , n=.

    2. (2) 描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示,请画出函数的图象.

    3. (3) 研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:

      ①点A( ,y1),B(5,y2),C(x1 ),D(x2 , 6)在函数图象上,则y1 ▲  y2 , x1 ▲  x2;(填“>”,“=”或“<”)

      ②当函数值y=1时,求自变量x的值;

    4. (4) 若直线y=﹣x+b与函数图象有且只有一个交点,请直接写出b的取值范围.
  • 30. (2021·涧西模拟) 小亮在学习中遇到如下一个问题:

    如图1,点 是半圆 上一动点,线段AB=6,CD平分 ,过点 于点 ,连接 .当 为等腰三角形时,求线段 的长度.

    小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 的长度作为自变量 的长度都是 的函数,分别记为 .请将下面的探究过程补充完整:

    1. (1) 根据点 在半圆 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 的长度,得到下表的几组对应值:

      0

      1.0

      2.0

      3.0

      4.0

      4.5

      5.0

      5.5

      6

      6

      5.9

      5.7

      5.2

      4.5

      a

      3.3

      2.4

      0

      6

      5.0

      4.2

      3.7

      4

      4.5

      5.3

      6.3

      8.5

      ①上表中 的值是  ▲  

      ②操作中发现,“无需测量线段 的长度即可得到 关于 的函数解析式”.请直接写出 关于 的函数解析式.

    2. (2) 小亮已在平面直角坐标系 中画出了函数 的图象,如图2所示.

      ①请在同一个坐标系中画出函数 的图象;

      ②结合图象直接写出当 为等腰三角形时,线段 长度的近似值(结果保留一位小数).

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