【备考2024】真题变式分层练：第19题—2023年高考数学...

更新时间：2023-10-03 浏览次数：165 类型：二轮复习

一、解答题

1. (2023·全国乙卷) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， $\text{[math]}$ ，点F在AC上， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面BEF；
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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二、基础

2. (2023·) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
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3. (2023高三上·湛江开学考) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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4. (2023高二上·吉林开学考) 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：BD⊥平面 $\text{[math]}$ ；
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5. (2023高二上·辉南月考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，三条侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公垂线；
3. （3）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离．
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6. (2023高二上·辉南月考) 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的大小；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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7. (2023高二上·昆明开学考) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是BC上一点.
1. （1）若点D是BC的中点.求证 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ .
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8. (2023高一下·炎陵期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC ， E为PB的中点．求证：
1. （1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面AEC；
2. （2）平面AEC⊥平面PBD ．
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9. (2023高二下·湛江期末) 如图①，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，得到如图②所示的四棱锥 $\text{[math]}$ .
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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10. (2023高一下·苏州期末) 已知直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，如图，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 向上翻折，使得平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）在 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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11. (2023高二下·江门期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证； $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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三、提升

12. (2023高三上·哈尔滨开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上不与端点重合的动点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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13. (2023高三上·嵩明期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.
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14. (2023·月考) 如图，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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15. (2023高一下·炎陵期末) 如图， $\text{[math]}$ 是圆柱 $\text{[math]}$ 的一条母线， $\text{[math]}$ 是底面的一条直径， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角正弦值；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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16. (2023高二下·河北期末) 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的高为3， $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形 $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 的内接等腰梯形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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17. (2023高二下·安康月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正三角形.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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18. (2023高一下·哈尔滨期末) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D，E分别是棱 $\text{[math]}$ ， AC的中点．
1. （1）判断多面体 $\text{[math]}$ 是否为棱柱并说明理由；
2. （2）求多面体 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面AB₁D．
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19. (2023高三下·梅河口月考) 如图所示，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. (2023·浙江模拟) 如图，四面体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. (2023·遂宁模拟) 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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四、培优

22. (2023高二上·吉林开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点．
1. （1）求证：平面PBC⊥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值
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23. (2023高二下·保山期末) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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24. (2023高二下·酒泉期末) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为棱DF上一点（不含端点）．
1. （1）当FP为何值时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
3. （3）若P为DF中点，求点E到平面APC的距离．
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25. (2023·黄埔) 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中，矩形 $\text{[math]}$ 所在平面与平面 $\text{[math]}$ 互相垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值．
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26. (2022·雅安模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面 $\text{[math]}$ 平面ABEF， $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证： $\text{[math]}$ 平面DCE；
2. （2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．
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27. (2023·广州模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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28. (2023·嵊州模拟) 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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29. (2023·诸暨模拟) 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有棱长均为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.
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30. (2023·义乌模拟) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ：
2. （2）若 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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