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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：空间向量与立体几何

更新时间：2024-02-22 浏览次数：11 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2023高二上·长安月考) 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ，点E ， F ， G ， H分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面．

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2. (2022高二上·沂水期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为棱PA的中点．
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 底面ABCD，且 $\text{[math]}$ ，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．
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3. (2024高二上·亳州期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长都为2，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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4. (2023高三上·广州月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，三棱锥B-PAD的体积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点P到平面ABCD的距离；
2. （2）若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，AN=2NP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.
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5. (2023高二上·重庆市期中) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别是棱AB ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为1．
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6. (2024·潍坊期末) 如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2 $\text{[math]}$ ， D，E分别为PC，PA的中点.
1. （1）证明：平面 BCE⊥平面 PAB.
2. （2）求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值.
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7. (2024高三上·辽宁五校联考期末) 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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8. (2024高三上·湖北期末) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点.
1. （1）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
2. （2）是否存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；否则，请说明理由.
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9. (2024高三上·牡丹江期末) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折成 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值
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10. (2024高二上·亳州期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值最大时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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11. (2023高一下·湖南期末) 在正六棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面棱长为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 所成角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，记平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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12. (2024高三上·广州月考) 底面ABCD和侧面 $\text{[math]}$ 均为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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13. (2023高一下·清远期末) 如图，在正三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的平面α交 $\text{[math]}$ 分别于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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14. (2023高一下·绍兴月考) 如图，在正三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且 $\text{[math]}$ ， D，P，Q均在平面 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比为3：8，
  （i）证明： $\text{[math]}$
  
  （ii）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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15. (2023高二上·永川月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值是 $\text{[math]}$ ?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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16. (2023高二上·端州开学考) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是线段AD上的一动点，将 $\text{[math]}$ 沿着BM折起，使点A到达点A＇的位置，满足点 $\text{[math]}$ 平面BCDM且点A＇在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
1. （1）当点M与端点D重合时，证明： $\text{[math]}$ 平面ACD＇；
2. （2）求三棱锥E-A＇BM的体积的最大值；
3. （3）设直线CD与平面A＇BM所成的角为 $\text{[math]}$ ，二面角A＇-BM-C的平面角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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17. (2023高三上·武鸣开学考) 已知在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为CD的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面PAE；
2. （2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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18. (2023高二上·惠州月考) 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面ABCD为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线CD所成的角取得最大值．点M为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若钝二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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19. (2023高二上·江汉开学考) 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图甲所示，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，如图乙所示．
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明；
2. （2）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
3. （3）在(2)的条件下， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点，求空间四边形 $\text{[math]}$ 周长的最小值．
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20. (2023高二上·常熟开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ，试确定 $\text{[math]}$ 点位置；并求此时二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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