【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：18 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2022·新高考Ⅱ卷) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -2 C . 0 D . 1

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2. (2022·新高考Ⅰ卷) 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R，记 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 均为偶函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶函数， $\text{[math]}$ 为奇函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·潮州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图像的公共点个数为 $\text{[math]}$ ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2023·安徽模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个周期 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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6. (2023·临高模拟) 下列函数中，最小正周期为 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R，且 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 13 B . 16 C . 25 D . 51

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8. (2023·平湖模拟) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·商洛模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2953 B . 2956 C . 2957 D . 2960

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10. (2023·厦门模拟) 定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称 B . 4是 $\text{[math]}$ 的一个周期 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·丰台模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则t的最小值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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12. (2023·浙江模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 65 B . 70 C . 75 D . 80

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13. (2023·咸阳模拟) 已知定义在R上的偶函数 $\text{[math]}$ 满足：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有8个实根，则a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

14. (2018·江苏) 函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且在区间 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为

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15. (2023·深圳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为奇函数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2024高三下·浏阳期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ ，有四个结论① $\text{[math]}$ ；②4为 $\text{[math]}$ 的周期；③ $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称；④ $\text{[math]}$ ，正确的是（填写题号）．

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17. (2023·山西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. (2023·厦门模拟) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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19. (2022·吉林模拟) 意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且n>2）.若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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20. (2022·河南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的周期为8，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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21. (2022·广东模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴恰好有 $\text{[math]}$ 个不同的交点，则 $\text{[math]}$ ．

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22. (2022·浙江模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的最大值为．

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23. (2022·上海市模拟) 设向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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24. (2022·南昌模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

25. (2020·新课标Ⅱ·理) 已知函数f(x)=sin²xsin2x.
1. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\text{[math]}$ .
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26. (2023·崇明模拟) 已知定义域为D的函数 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ，满足对任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；
2. （2）证明：方程 $\text{[math]}$ 至多只有一个实根；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．
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27. (2021·河南模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 是公差大于零的等差数列，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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28. (2021·西城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
1. （1）确定 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $\text{[math]}$ 上，求a的取值范围．
  条件①： $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
  
  条件②： $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心为 $\text{[math]}$ ；
  
  条件③； $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．
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29. (2020·海安模拟) 已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．
1. （1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；
2. （2）求函数 f（x）的最大值；
3. （3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N^*）上恰有2015个零点，求k的值．
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30. (2019·河南模拟) 已知命题p：函数 $\text{[math]}$ 有零点；命题q：函数 $\text{[math]}$ 区间 $\text{[math]}$ 内只有一个极值点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 为真命题，求实数a的取值范围．

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31. (2018·杨浦模拟) 记函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D. 如果存在实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的x恒成立，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 函数.
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 函数，并说明理由；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，其中常数 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 函数；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 函数，且函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ （m为常数）对称，试判断 $\text{[math]}$ 是否为周期函数？并证明你的结论.
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32. (2018·普陀模拟) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意的实数 $\text{[math]}$ ，存在非零常数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立.
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在闭区间 $\text{[math]}$ 上的值域；
3. （3）设函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，证明：函数 $\text{[math]}$ 为周期函数.
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33. (2023高一下·定远期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 图象的对称中心坐标及其在 $\text{[math]}$ 内的单调递增区间 $\text{[math]}$
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 的值．
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34. (2022高二下·昌平期末) 已知 $\text{[math]}$ 是由正整数组成的无穷数列．设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这里 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这n个数中最大的数， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中最小的数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，是一个周期为 $\text{[math]}$ 的数列（即对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是正整数．证明： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的充分必要条件为 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列；
3. （3）证明：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的项只能是1或者2，且有无穷多项为 $\text{[math]}$ ．
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35. (2021高一上·瓯海月考) 设函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最大值与最小正周期；
2. （2）求最小的正数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ ，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增.
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