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备考2024年中考数学探究性训练专题14 反比例函数

更新时间:2024-03-24 浏览次数:22 类型:二轮复习
一、选择题
  • 1. (2023八下·靖江期末) 探究函数的图像发现,可以由的图像先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到.根据以上信息判断,下列直线中与函数的图像没有公共点的是( )
    A . 经过点且平行于x轴的直线 B . 经过点且平行于x轴的直线 C . 经过点且平行于y轴的直线 D . 经过点且平行于y轴的直线
  • 2. (2020·蠡县模拟) 小明使用电脑软件探究函数 的图象,他输入了一组a,b的值,得到了下面的函数图象,由学习函数的经验,可以推断出小明输入的a,b的值满足(    )

    A . B . C . D .
  • 3. (2020八下·越城期末) 小明使用图形计算器探究函数y= 的图象,他输入了一组a,b的值,得到了下面的函数图象,由学习函数的经验,可以推断出小明输入的a,b的值满足(  )

    A . a>0,b>0 B . a>0,b<0 C . a<0,b>0 D . a<0,b<0
  • 4. (2018·江西) 在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2 , 探究直线l1 , 直线l2与双曲线y= 的关系,下列结论错误的是(    )
    A . 两直线中总有一条与双曲线相交 B . 当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C . 当﹣2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D . 当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2
  • 5. 某学习小组,在探究1+的性质时,得到了如下数据:

     x

     1

     10

     100

     1000

     10000

     …

     1+

     3

     1.2

     1.02

     1.002

     1.0002

     …

    根据表格中的数据,做出了四个推测:

    ①1+(x>0)的值随着x的增大而减小;

    ②1+(x>0)的值有可能等于1;

    ③1+(x>0)的值随着x的增大越来越接近于1;

    ④1+(x>0)的值最大值是3.则推测正确的有(  )

    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
二、填空题
  • 6. (2023·吴兴模拟) 如图1,点是反比例函数的图象上一点,连接$OA$,过点轴交的图象于点 , 连接并延长交的图象于点 , 过点轴交的图象于点 , 已知点的横坐标为 , 连接 , 小明通过对的面积与的关系展开探究,发现的值为;如图2,延长的图象于点 , 过点轴交的图象于点 , 依此进行下去.记 , 则.

  • 7. (2021·燕山模拟) 如图,在平面直角坐标系 中,已知直线 ,双曲线 ,在l上取一点 ,过 轴的垂线交双曲线于点 ,过 轴的垂线交l于点 ,请继续操作并探究:过 轴的垂线交双曲线于点 ,过 轴的垂线交l于点 ,…,这样依次得到l上的点 ,…, ,…,记点 的横坐标为 ,若 ,则 ;若要将上述操作无限次地进行下去,则 不能取的值是

三、理论探究题
  • 8. (2023八下·广陵期末) 对于某些函数,由自变量的大小关系确定函数值的大小关系,不仅可以利用函数的图象判断,也可以用代数的方法判断,这是“数形结合”思想的典型应用.
    1. (1) 已知一次函数的图象上的两点 , 如何用代数的方法判断的大小关系呢?由点都在函数图象上,得 , 再将作差,按照该思路写出判断过程;
    2. (2) 已知反比例函数的图象上的两点 , 仿照(1)中的思路写出的大小关系的判断过程.
四、数形结合探究题
  • 9. (2023·深圳模拟) 某数学学习小组在研究函数时,对函数的图象和性质进行了探究.

    探究过程如下:

    1. (1) x与y的几组对应值如表:

      x

      ﹣2

      ﹣1

      0

      1

      3

      4

      5

      6

      y

      m

      0

      ﹣1

      n

      5

      3

      2

      其中 

    2. (2) 在平面直角坐标系中,描出上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象;

    3. (3) 观察图像,我们可以认为函数的图像可由函数的图像向右平移个单位,再向上平移个单位得到;
    4. (4) 根据函数图象,当时,自变量x的取值范围为
  • 10. (2020八下·襄汾期末) 有这样一个问题:探究函数y= 的图象与性质.小慧根据学习函数的经验,对函数y= 的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程,请补充完成:

    1. (1) 函数y= 的自变量x的取值范围是
    2. (2) 列出y与x的几组对应值.请直接写出m的值,m=

      x

      -3

      -2

      0

      1

      1.5

      2.5

      m

      4

      6

      7

      y

      2.4

      2.5

      3

      4

      6

      -2

      0

      1

      1.5

      1.6

    3. (3) 请在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
    4. (4) 结合函数的图象,写出该函数的两条性质:

  • 11. (2020九上·重庆开学考) 启航同学根据学习函数的经验,对函数 的图象与性质进行了探究.下面是他的探究过程,请补充完成:

    1. (1) 函数 的自变量x 的取值范围是
    2. (2) 列表,找出y 与x 的几组对应值,列表如下:

      x

      -2

      -1

      0

      2

      3

      ..

      y

      a

      1

      2

      2

      1

      其中, a=

    3. (3) 在平面直角坐标系xOy 中,描出以上表中各对对 应值为坐标的点,并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质:
  • 12. (2020·荆州) 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后,进一步研究了函数 的图像与性质,其探究过程如下:

    1. (1) 绘制函数图象,如图1

      ①列表;下表是x与y的几组对应值,其中 m=           


      ②描点:根据表中各组对应值(x,y)在平面直角坐标系中描出了各点;

      ③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图像,请你把图像补充完整;

    2. (2) 通过观察图1,写出该函数的两条性质:①;②
    3. (3) ①观察发现:如图2,若直线y=2交函数 的图像于A,B两点,连接OA,过点B作BC//OA交x轴于点C,则SOABC=; 

      ②探究思考:将①的直线y=2改为直线y=a(a>0),其他条件不变,则SOABC=; 

      ③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数 的图像于A,B两点,连接OA,过点B作BC//OA交x轴于C,则 SOABC=

  • 13. (2022八下·临汾期末) 综合与探究

    如图,已知, , D为B点关于的对称点,反比例函数的图象经过D点.

    1. (1) 证明四边形为菱形;
    2. (2) 求此反比例函数的解析式;
    3. (3) 已知在的图象()上有一点N,y轴正半轴上有一点M,且四边形是平行四边形,求M点的坐标.
  • 14. (2024九上·祁阳期末) 在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意点 , 我们把点B称为点A的“倒数点”.

    1. (1) 写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标
    2. (2) 点P是反比例函数图象上的一点,求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式;
    3. (3) 如图,矩形的顶点 , 顶点Ey轴上,函数的图象与交于点A . 若点BA的“倒数点”,且点B在矩形的一边上,求的面积.
  • 15. 背景:点A在反比例函数y=(k>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,分别在射线AC,BO上取点D,E,使得四边形ABED为正方形.如图1,点A在第一象限内,当AC=4时,小李测得CD=3.

    探究:通过改变点A的位置,小李发现点D,A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

    1. (1) 求k的值.
    2. (2) 设点A,D的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李画出了x>0时“Z函数”的图象.

      ①求这个“Z函数”的表达式.

      ②补画x<0时“Z函数”的图象,并写出这个函数的性质(两条即可).

      ③过点(3,2)作一直线,与这个“Z函数”图象仅有一个交点,求该交点的横坐标.

  • 16. (2021八下·江干期末) 阅读材料:

    已知:一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= (x>0),当两个函数的图象有交点时,求b的取值范围.

    1. (1) 方方给出了下列解答:

      ﹣x+b=

      x2﹣bx+4=0

      ∵两个函数有交点

      ∴△=b2﹣16≥0

      但是方方遇到了困难:利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式;

      此时,圆圆提供了另一种解题思路;

      第1步:先求出两个函数图象只有一个交点时,b=  ▲  ;

      第2步:画出只有一个交点时两函数的图象(请帮圆圆在直角坐标系中画出图象);

      第3步:通过平移y=﹣x+b的图象,观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是  ▲  .

      应用:

      如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC的长为x,AC的长为y,且S△ABC=12.

    2. (2) 求y关于x的函数表达式;
    3. (3) 设x+y=m,求m的取值范围.
  • 17. (2023八下·洪洞期末) 综合与探究:如图,一次函数与反比例函数的图象相交于两点,分别连接

    1. (1) 求这个反比例函数的表达式;
    2. (2) 已知点的横坐标为 , 求的面积;
    3. (3) 在平面内是否存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
  • 18. 如图,矩形ABCO在平面直角坐标系中,点A(-5,0),C(0,6),反比例函数图象 L₁ 对应的函数表达式为 反比例函数图象 L₂ 对应的函数表达式为 把矩形 ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.

    1. (1) 若 k=-12,则L₂和L₁ 之间(不含边界)有个“整点”.
    2. (2) 若L₂ 和L₁之间(不含边界)有4个“整点”,求k的取值范围.
  • 19. 阅读理解:

    在平面直角坐标系中,点M的坐标为(x1 , y1),点N的坐标为(x2 , y2),且x1≠x2 , y1≠y2 , 若M,N为某矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为M,N的“相关矩形”.如图中的矩形为点M,N的“相关矩形”。

    1. (1) 已知点A的坐标为(2,0).

      ①若点B的坐标为(4,4),则点A,B的“相关矩形”的周长为            

      ②若点C在直线x=4上,且点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式.

    2. (2) 已知点P的坐标为(3,-4),点Q的坐标为(6,-2),若使函数y=的图象与点P,Q的“相关矩形”有两个公共点,直接写出k的取值范围.
  • 20. (2023八下·高邮期末) 如图,点P是y轴正半轴上的一个动点,过点P作y轴的垂线,与反比例函数的图象交于点A.把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折,其它部分保持不变,所形成的新图象称为“的l镜像”.

    1. (1) 当时;

      ①点的l镜像”;(填“在”或“不在”)

      ②“的l镜像”与x轴交点坐标是

    2. (2) 过y轴上的点作y轴垂线,与“的l镜像”交于点B、C,若 , 求的长.
  • 21. (2021九上·安岳月考) 阅读材料,用配方法求最值.

    已知a,b为非负实数,∵ 0,

    ,当且仅当“a=b”时,等号成立.示例:当x>0时,求 的最小值;

    解: ,当 ,即x=2时,y的最小值为5.

    1. (1) 若m>0, 的最小值为
    2. (2) 探究:当x>0时,求 的最小值;
    3. (3) 如图,已知P为双曲线 (x<0)上任意一点,过点P作PB⊥x轴,PA⊥y轴且C(0,﹣4),D(6,0),求四边形ABCD的面积的最小值,并求此时A,B的坐标.

五、实践探究题
  • 22. (2023·太原模拟) 阅读与思考

    下面是小宇同学的一篇日记,请仔细阅读并完成相应的任务.

    在物理活动课上,我们“博学”小组的同学,参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动.

     

     

      

    第一步,实验测量.根据物理知识,改变电阻R的大小,通过测量电路中的电流,计算电功率P.

    第二步,整理数据.

    3

    6

    9

    12

    15

    3

    1.5

    1

    0.75

    0.7

    第三步,描点连线.以R的数值为横坐标,对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点,并用光滑的曲线顺次连接这些点.

    在数据分析时,我发现一个数据有错误,重新测量计算后,证明了我的猜想正确,并修改了表中这个数据.实验结束后,大家都有很多收获,每人都撰写了日记.

    任务:

      

    1. (1) 表格中错误的数据是,P与R的函数表达式为
    2. (2) 在平面直角坐标系中,画出P与R的函数图象;
    3. (3) 结合图象,直接写出P大于6W时R的取值范围.
  • 23. 在探究欧姆定律时,小明发现小灯泡电路上的电压保持不变,通过小灯泡的电流越大,灯就越亮。设选用小灯泡的电阻为 R(Ω),通过的电流强度为I(A)(欧姆定律公式:
    1. (1) 若电阻为40 Ω,通过的电流强度为0.30 A,求Ⅰ关于R的函数表达式.
    2. (2) 如果电阻小于 40 Ω,那么与(1)中相比,小灯泡的亮度将发生怎样的变化?请说明理由.
  • 24. (2023九上·七星期中) 如图1,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物,在右边活动托盘(可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变活动托盘与点的距离 , 观察活动托盘中砝码的质量的变化情况.实验数据记录如表

              10

               15

               20

               25

              30

              30

               20

               15

               12

              10

    1. (1) 把表中的各组对应值作为点的坐标,在图2的坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点;
    2. (2) 观察所画的图象,猜测之间的函数关系,求出函数关系式;
    3. (3) 当砝码的质量为时,活动托盘与点的距离是多少?
  • 25. (2023九上·寿阳月考)  阅读与思考
    下面是小宇同学的一篇日记,请仔细阅读并完成相应的任务.

    在物理活动课上,我们“博学”小组的同学,参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动.
    第一步,实验测量.根据物理知识,改变电阻R的大小,通过测量电路中的电流,计算电功率P.
    第二步,整理数据.

    R/Ω

    3

    6

    9

    12

    15

    P/W

    3

    1.5

    1

    0.75

    0.7

    第三步,描点连线.以R的数值为横坐标,对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点,并用光滑的曲线顺次连接这些点.
    在数据分析时,我发现一个数据有错误,重新测量计算后,证明了我的猜想正确,并修改了表中这个数据.实验结束后,大家都有很多收获,每人都撰写了日记.

    任务:

    1. (1) 表格中错误的数据是,P与R的函数表达式为
    2. (2) 在平面直角坐标系中,画出P与R的函数图象;
    3. (3) 结合图象,直接写出P大于6W时R的取值范围.
  • 26. (2022八下·邗江期末) 模具长计划生产面积为9,周长为m的矩形模具,对于m的取值范围,小陈已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:

    1. (1) 建立函数模型

      设矩形相邻两边的长分别为 .由矩形的面积为9,得 .即 ;由周长为m,得 ,即 ,满足要求的 .应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

    2. (2) 画出函数图象

      函数 的图象如图所示,而函数 的图象可由直线 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 .

    3. (3) 平移直线 ,观察函数图象

      ①当直线平移到与函数 的图象有唯一交点(3,3),周长m的值为        

      ②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围;

    4. (4) 得出结论

      若能生产出面积为9的矩形模具,则周长m的取值范围为

  • 27. (2023九上·光明月考)   

    【综合实践】

    如图所示,是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂,如图,即FA×L1FB×L2),受桔槔的启发,小杰组装了如图所示的装置.其中,杠杆可绕支点O在竖直平面内转动,支点O距左端L1=1m , 距右端L2=0.4m , 在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A

    1. (1) 若在杠杆右端挂重物B , 杠杆在水平位置平衡时,重物B所受拉力为N
    2. (2) 为了让装置有更多的使用空间,小杰准备调整装置,当重物B的质量变化时,L2的长度随之变化.设重物B的质量为xNL2的长度为ycm . 则:

      y关于x的函数解析式是    ▲    

      ②完成下表:

      x/N

      10

      20

      30

      40

      50

      y/cm

      8

      a

      2

      b

      ③在直角坐标系中画出该函数的图象.

    3. (3) 在(2)的条件下,将函数图象向右平移4个单位长度,与原来的图象组成一个新的函数图象,记为L . 若点A的坐标为(2,0),在L上存在点Q , 使得SOAQ=9.请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
  • 28. (2023九上·瑞安开学考) 确定有效消毒的时间段

    背景素材

    预防传染病,某校定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物释放阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与释放时间x(min)成一次函数;释放后,yx成反比例如图1所示,且2min时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)达到最大值.某兴趣小组记录部分y(mg)与x(min)的测量数据如表1.满足的自变量x(min)的取值范围为有效消毒时间段.

    x

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    y

    2.5

    3

    3.5

    4

    3.2

    2.67

    问题解决

    1. (1) 任务1

      确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式.

    2. (2) 任务2

      初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围.

    3. (3) 任务3

      若实际生活中有效消毒时间段要求满足ax≤3a , 其中a为常数,请确定实际生活中有效消毒的时间段.

  • 29. (2024九下·深圳开学考) 【问题背景】

    1. (1) 数学活动课上,老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具,如图1,将它放入一个直角三角形中,已知∠BCA=90°,∠B=30°,顶点D、E、F、G刚好落在三边上,求AB的长;
    2. (2) 【问题提出与解决】

      小颖同学受到启发,将该教具放入如图2所示的直角坐标系中,顶点A、B、C分别落在坐标轴上,提出问题:如果反比例函数(x<0)图象经过顶点D,求k的值;

    3. (3) 小明同学也受到启发,画了一个圆,如图3,将该教具放入圆内,使圆经过其顶点A、B、C,提出问题:求该圆的面积.
  • 30. 数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:将长为的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端固定在桌面上,图乙是示意图.如图丙所示,将铅笔AB绕端点按顺时针方向旋转,AB与OF交于点 , 当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点与点重合.

    1. (1) 设 , 点到OF的距离.请回答下列问题:

      ①用含的代数式表示:AD的长是的长是

      ②写出关于的函数表达式: , 自变量的取值范围是.

    2. (2) ①列表:根据第(1)题中求出的函数表达式计算并补全表格;  

               

      6

      5

      4

      3.5

      3

      2.5

      2

      1

      0.5

      0

               

      0

      0.55

      1.2

      1.58

       

      2.47

      3

      4.29

      5.08

       

      ②描点:根据表中的数值,在平面直角坐标系(如图丙所示)中描出①中剩余的两个点

      ③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.

    3. (3) 请你结合函数的图象,写出关于该函数的两条性质或结论.
  • 31. (2023·深圳模拟) 【项目式学习】

    项目主题:守护生命,“数”说安全.

    项目背景:随着社会的发展,安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识,开展以“守护生命,'数'说安全”为主题的项目式学习活动.创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节,开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究.

    1. (1) 任务一:考察测量

      如图1,创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角,道路宽均为4m,则AB=m;

    2. (2) 任务二:模拟探究

      如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触,则可安全通过.

      创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道,探究发现:

      ①当CD<2AB时(如图1),线段CD能通过直角弯道;

      ②当CD=2AB时,必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况,线段CD恰好不能通过直角弯道(如图2).此时,∠ADC的度数是 ;③当CD>2AB时,线段CD不能通过直角弯道.

    3. (3) 如图3,创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道,发现当PQ的中点E与点B重合,且PQ⊥AB时,矩形PQMN恰好不能通过该弯道.若PQ=am,PN=2m,且矩形PQMN能通过该直角弯道,求a的最大整数值.
    4. (4) 任务三:成果迁移

      如图4,某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y=(x>0)的图象,其对称轴交图象于点A.弯道内侧的顶点B在射线OA上,两边分别与x轴,y轴平行,OA=2m,AB=4m.创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似.有一辆长为bm,宽为2m的汽车需要安全通过该弯道,则b的最大整数值为 .(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2,≈2.6)

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