探究过程如下:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | ||
y | … | m | 0 | ﹣1 | n | 5 | 3 | 2 | … |
其中, ;
x |
… |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
1.5 |
2.5 |
m |
4 |
6 |
7 |
… |
y |
… |
2.4 |
2.5 |
3 |
4 |
6 |
-2 |
0 |
1 |
1.5 |
1.6 |
… |
①;
②.
x |
… |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
3 |
.. |
||
y |
… |
a |
1 |
2 |
2 |
1 |
… |
其中, a=;
①列表;下表是x与y的几组对应值,其中 m= ;
②描点:根据表中各组对应值(x,y)在平面直角坐标系中描出了各点;
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图像,请你把图像补充完整;
②探究思考:将①的直线y=2改为直线y=a(a>0),其他条件不变,则SOABC=;
③类比猜想:若直线y=a(a>0)交函数 的图像于A,B两点,连接OA,过点B作BC//OA交x轴于C,则 SOABC= ;
如图,已知, , , , D为B点关于的对称点,反比例函数的图象经过D点.
探究:通过改变点A的位置,小李发现点D,A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画x<0时“Z函数”的图象,并写出这个函数的性质(两条即可).
③过点(3,2)作一直线,与这个“Z函数”图象仅有一个交点,求该交点的横坐标.
已知:一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= (x>0),当两个函数的图象有交点时,求b的取值范围.
﹣x+b=
x2﹣bx+4=0
∵两个函数有交点
∴△=b2﹣16≥0
但是方方遇到了困难:利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式;
此时,圆圆提供了另一种解题思路;
第1步:先求出两个函数图象只有一个交点时,b= ▲ ;
第2步:画出只有一个交点时两函数的图象(请帮圆圆在直角坐标系中画出图象);
第3步:通过平移y=﹣x+b的图象,观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ▲ .
应用:
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC的长为x,AC的长为y,且S△ABC=12.
在平面直角坐标系中,点M的坐标为(x1 , y1),点N的坐标为(x2 , y2),且x1≠x2 , y1≠y2 , 若M,N为某矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为M,N的“相关矩形”.如图中的矩形为点M,N的“相关矩形”。
①若点B的坐标为(4,4),则点A,B的“相关矩形”的周长为 ;
②若点C在直线x=4上,且点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式.
①点“的l镜像”;(填“在”或“不在”)
②“的l镜像”与x轴交点坐标是;
已知a,b为非负实数,∵ 0,
∴ ,当且仅当“a=b”时,等号成立.示例:当x>0时,求 的最小值;
解: ,当 ,即x=2时,y的最小值为5.
下面是小宇同学的一篇日记,请仔细阅读并完成相应的任务.
在物理活动课上,我们“博学”小组的同学,参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动.
第一步,实验测量.根据物理知识,改变电阻R的大小,通过测量电路中的电流,计算电功率P. 第二步,整理数据.
第三步,描点连线.以R的数值为横坐标,对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点,并用光滑的曲线顺次连接这些点. 在数据分析时,我发现一个数据有错误,重新测量计算后,证明了我的猜想正确,并修改了表中这个数据.实验结束后,大家都有很多收获,每人都撰写了日记. |
任务:
10 | 15 | 20 | 25 | 30 | |
30 | 20 | 15 | 12 | 10 |
在物理活动课上,我们“博学”小组的同学,参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动.
第三步,描点连线.以R的数值为横坐标,对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点,并用光滑的曲线顺次连接这些点. |
任务:
设矩形相邻两边的长分别为 .由矩形的面积为9,得 .即 ;由周长为m,得 ,即 ,满足要求的 .应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.
函数 的图象如图所示,而函数 的图象可由直线 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 .
①当直线平移到与函数 的图象有唯一交点(3,3),周长m的值为 ;
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围;
若能生产出面积为9的矩形模具,则周长m的取值范围为
【综合实践】
如图所示,是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂,如图,即FA×L1=FB×L2),受桔槔的启发,小杰组装了如图所示的装置.其中,杠杆可绕支点O在竖直平面内转动,支点O距左端L1=1m , 距右端L2=0.4m , 在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A .
①y关于x的函数解析式是 ▲ .
②完成下表:
x/N | … | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | … |
y/cm | … | 8 | a | 2 | b | … |
③在直角坐标系中画出该函数的图象.
背景素材
预防传染病,某校定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物释放阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与释放时间x(min)成一次函数;释放后,y与x成反比例如图1所示,且2min时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)达到最大值.某兴趣小组记录部分y(mg)与x(min)的测量数据如表1.满足的自变量x(min)的取值范围为有效消毒时间段.
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | … |
y | … | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 3.2 | 2.67 | … |
问题解决
确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式.
初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围.
若实际生活中有效消毒时间段要求满足a≤x≤3a , 其中a为常数,请确定实际生活中有效消毒的时间段.
小颖同学受到启发,将该教具放入如图2所示的直角坐标系中,顶点A、B、C分别落在坐标轴上,提出问题:如果反比例函数(x<0)图象经过顶点D,求k的值;
①用含的代数式表示:AD的长是的长是;
②写出关于的函数表达式: , 自变量的取值范围是.
| 6 | 5 | 4 | 3.5 | 3 | 2.5 | 2 | 1 | 0.5 | 0 |
| 0 | 0.55 | 1.2 | 1.58 | 2.47 | 3 | 4.29 | 5.08 |
②描点:根据表中的数值,在平面直角坐标系(如图丙所示)中描出①中剩余的两个点;
③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
项目主题:守护生命,“数”说安全.
项目背景:随着社会的发展,安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识,开展以“守护生命,'数'说安全”为主题的项目式学习活动.创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节,开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究.
如图1,创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角,道路宽均为4m,则AB=m;
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触,则可安全通过.
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道,探究发现:
①当CD<2AB时(如图1),线段CD能通过直角弯道;
②当CD=2AB时,必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况,线段CD恰好不能通过直角弯道(如图2).此时,∠ADC的度数是 ;③当CD>2AB时,线段CD不能通过直角弯道.
如图4,某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y=(x>0)的图象,其对称轴交图象于点A.弯道内侧的顶点B在射线OA上,两边分别与x轴,y轴平行,OA=2m,AB=4m.创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似.有一辆长为bm,宽为2m的汽车需要安全通过该弯道,则b的最大整数值为 .(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2,≈2.6)