初中数学浙教版八下数学综合题优生特训4-在线组卷

1. 如图，将矩形 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.

（1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）若EH=5，EF=12，则矩形ABCD的面积是.

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2. 如图，延长▱ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BE.

（1）求证：BF=CF；
（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC= 2∠D，求 $\text{[math]}$ ABCD的面积.

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3. (2022八下·浙江期末) 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E.

（1）若CE=4，AE=2BE，求菱形ABCD的周长.
（2）连结BD交CE于点F.
①若DF=BF＋2EF，求证：AE=BE.

②设四边形AEFD和 $\text{[math]}$ 的面积分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段BF的长.

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4. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.

（1）求证：四边形EPFC是矩形.
（2）当点P运动到时，四边形EPFC是正方形.
（3）求证：DE=DF.

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5. 已知四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB的延长线于点F，连结BE.

（1）如图1，求证：∠AFD=∠EBC.
（2）如图2，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数.
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)

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6. 如图，以矩形OABC的顶点О为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.已知OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF.

（1）若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；
（2）若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标.

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7. 如图，以△ABC的边AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.

（1）当∠BAC满足什么条件时， $\text{[math]}$ ADFE是矩形？请说明理由.
（2）当∠BAC满足什么条件时， $\text{[math]}$ ADFE不存在？请说明理由.
（3）当△ABC满足什么条件时， $\text{[math]}$ ADFE是菱形？当△ABC满足什么条件时， $\text{[math]}$ ADFE是正方形？直接给出答案.

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8. 准备一张矩形纸片，按如图所示的方式操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处.

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积.

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9. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

（1）求证：BE=CD.
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求 $\text{[math]}$ ABCD的面积。

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10. 在一元二次方程x²-2ax+b=0中，若a²-b>0，则称a是该方程的中点值.

（1）方程x²-8x+3=0的中点值是.
（2）当a²-b>0时，x₁ ， x₂为方程x²-2ax+b=0的两个根，求证：x₂-a=a-x₁.
（3）已知x²-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.

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11. (2021八下·沙坪坝期末) 在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF.

（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF=EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF=BE＋DF.

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12. (2021八下·重庆期末) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，点 $\text{[math]}$ 矩形内部一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（1）如图一，若满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图二，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的运动，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图三，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为矩形内部一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由.

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13. (2021八下·丹徒期末) 如图，将矩形ABCD绕点顺A时针旋转α°(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.

（1）如图1.当点E在BD上时，
①求证：∠BEA=∠BDC；

②连接AF，判断四边形BAFD的形状，并说明理由
（2）若AB=4，AD= $\text{[math]}$ ，当GC＝GB时，求ED的长度（画出图形，直接写出结果）

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14. (2021八下·江都期末) 我们已经学习了正比例函数 $\text{[math]}$ 和反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质，下面，我们研究函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质，我们不妨特殊化，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .

（1） ① 函数 $\text{[math]}$ 的自变量x的取值范围是 ▲ ；
②容易发现，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .由此可见，图象在第 ▲ 象限；

③阅读材料：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有最小值是2.请仿照上述过程，求出当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值；
（2）为了画函数 $\text{[math]}$ 的图象，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；
（3）观察图象，当 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大时，自变量x的取值范围是；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为 $\text{[math]}$ ，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值.

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15. (2021八下·苏州期末) 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线 $\text{[math]}$ ，点A，D在直线 $\text{[math]}$ 上，点B，C在直 $\text{[math]}$ 上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形.

（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2.若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：
（2）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE.求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝ $\text{[math]}$ ，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，求k的值.

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16. (2021八下·鼓楼期末)

（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $\text{[math]}$ 两边同时乘以 $\text{[math]}$ 并移项，得到 $\text{[math]}$ ，两边再同时加上 $\text{[math]}$ ，得（ ▲ ）² $\text{[math]}$ .请用这样的方法解方程： $\text{[math]}$ ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $\text{[math]}$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$\text{[math]}$ （从这里可以看出方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

即 $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，不妨设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

利用 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即能求出 $\text{[math]}$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，所以方程的两个根为 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，所以方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

请运用以上方法解如下方程① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$

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17. (2021八下·海州期末) 如图

（1）如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上. $\text{[math]}$ 垂足为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
（2）如图②在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的任意两点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 位置，连接 $\text{[math]}$ ，试判断线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由.

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18. (2021八下·海州期末) 如图

如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 处于平行四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，双曲线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 点的坐标；
（3）点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上（如图2），若以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（4）以线段 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ （如图3），点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.

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19. (2021八下·灌南期末) 如图，在平面直角坐标系中，A （6，0）、B（0， 4）是矩形OACB的两个顶点，双曲线 $\text{[math]}$ （k≠0，x>0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线 $\text{[math]}$ 的另一个交点，

（1）点D的坐标为，点E的坐标为.
（2）动点P在第一象限内，且满足 $\text{[math]}$ .
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

②连接PO、PE，当PO-PE的值最大时，求点P的坐标；

③若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.

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20. (2021八下·淮阴期末) 如图

（1）（探究新知）如图1，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由.
（2）（结论应用）如图2，点M，N在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，过点M作 $\text{[math]}$ 轴，过点N作 $\text{[math]}$ 轴，垂足分别为E，F.试证明： $\text{[math]}$ .
（3）（拓展延伸）若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上的位置，如图3所示， $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 $\text{[math]}$ ，请求 $\text{[math]}$ 的长.

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21. (2021八下·相城期末) 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向 $\text{[math]}$ 运动，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数图象如图2所示.

（1） $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）如图3，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 进行翻折，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形？

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22. (2021八下·镇海期末) 夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克.如果售价为30元/千克，那么每天可售出150千克：如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克.经调查发现：每天销售量 $\text{[math]}$ (千克）与售价 $\text{[math]}$ (元/千克)之间存在一次函数关系.

（1）求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的一次函数关系式；
（2）若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉
（3）设杨梅每天销售的毛利润为 $\text{[math]}$ 元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?

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23. (2022八下·常熟期末) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连结 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数.
（2）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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24. (2021八下·梁园期末) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠到 $\text{[math]}$ .

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）如图②， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；
（3）如图③，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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25. (2021八下·鄞州期末) 如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH。

（1）求证：四边形EFCH是矩形：
（2）若AH=2，HD=3，求四边形EFCH的面积。

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26. (2021八下·慈溪期中) 我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；
（2）如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；
（3）如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 $\text{[math]}$ ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 $\text{[math]}$ ABCP的面积。

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27. (2021八下·高港期末)

（1）（发现证明）
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？

思路：将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的 $\text{[math]}$ .

①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）.

②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）
（2）（类比迁移）
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究.

①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且 $\text{[math]}$ ，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程.

②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则EF、BE、DF之间的数量关系是 ▲ （直接写出关系式，无需证明）.

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28. (2021八下·兴化期末) 已知：如图1，函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象相交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

（1）求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内函数 $\text{[math]}$ 的图象上的动点，且在点 $\text{[math]}$ 的右侧，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
①判定 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②点 $\text{[math]}$ 在运动的过程中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数和.

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29. (2021八下·自贡期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 折叠后，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.

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30. (2021八下·锡山期末) 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.

（1）在三等角四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为；
（2）如图1，折叠平行四边形 $\text{[math]}$ ，使得顶点 $\text{[math]}$ 分别落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 为三等角四边形；
（3）如图 $\text{[math]}$ ，在三等角四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为.