【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准...

更新时间：2023-11-24 浏览次数：57 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·新高考Ⅱ卷) 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 60°，E为BC中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$
2. （2）点F满足 $\text{[math]}$ ，求二面角D-AB-F的正弦值.
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二、基础

2. (2023·顺德模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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3. (2023·柯桥模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 的大小是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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4. (2023·遂宁模拟) 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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5. (2023·广西模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 中点，过C，D，M的平面截四棱锥 $\text{[math]}$ 所得的截面为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点F，画出截面 $\text{[math]}$ ，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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6. (2023·惠州模拟) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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7. (2023·广东模拟) 如图，在三棱台ABC— $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小是 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.
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8. (2023·绵阳模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是以边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面PAC $\text{[math]}$ 平面ABC；
2. （2）若点M在线段BC上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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9. (2023·湛江模拟) 如图1，在五边形 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 处，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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10. (2023·宁波模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求BC的长．
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11. (2023·杭州模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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12. (2023·青浦模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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13. (2023·黄浦模拟) 如图，多面体 $\text{[math]}$ 是由棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 沿平面 $\text{[math]}$ 截去一角所得到，在棱 $\text{[math]}$ 上取一点E，过点 $\text{[math]}$ ， C，E的平面交棱 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求点E到平面 $\text{[math]}$ 的距离以及 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小．
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14. (2023·商洛模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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三、提升

15. (2023高三下·梅河口月考) 如图所示，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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16. (2022·雅安模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面 $\text{[math]}$ 平面ABEF， $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证： $\text{[math]}$ 平面DCE；
2. （2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．
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17. (2023·义乌模拟) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ：
2. （2）若 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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18. (2023高二下·大荔期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为2，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求平面ACD与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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19. (2023高三下·四川模拟) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面 $\text{[math]}$ 底面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在线段SB上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面ACE；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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20. (2023·深圳模拟) 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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21. (2023·大庆模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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22. (2023·嘉兴模拟) 如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若四面体 $\text{[math]}$ 的体积为2，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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23. (2023·绍兴模拟) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，证明；点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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24. (2023·虹口模拟) 如图，在圆锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面的直径， $\text{[math]}$ 是底面圆周上的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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25. (2023·陕西模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， △ $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）是否存在这样点 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，如果存在，求 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由.
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四、培优

26. (2023·黄埔) 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中，矩形 $\text{[math]}$ 所在平面与平面 $\text{[math]}$ 互相垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值．
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27. (2023高三下·浙江模拟) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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28. (2023·攀枝花模拟) 如图1，圆的内接四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直径 $\text{[math]}$ ．将圆沿AC折起，并连接OB、OD、BD，使得△BOD为正三角形，如图2．
1. （1）证明：图2中的 $\text{[math]}$ 平面BCD；
2. （2）在图2中，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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29. (2023·安徽模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面 $\text{[math]}$ 与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：BG//平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若PA⊥平面ABCD，且 $\text{[math]}$ ，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
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30. (2023·安徽模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．
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31. (2023·宜宾模拟) 圆柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为过轴 $\text{[math]}$ 的截面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的内接正三角形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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