如图,AB是⊙O的直径,点C为弧BD的中点,连结AC交BD于点E,CE=1, ,老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后,编制成一道完整的题目,并解答.
小童:我加的内容是“BE=3,连结CD,求CD的长”.
小诗:我加的内容是“sin∠CBE ,连结OC,求tan∠ABD的值”.
请你帮小诗完成解答;
定义:顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 下面是该定理的部分证明过程: 已知:如图,与相切于点A , 点 , 在上,连接 , , . 求证: . 证明:连接并延长,交于点 , 连接 . 与相切于点A (依据1) 是的直径 (依据2)
|
任务:
依据1:
依据2:
已知:和圆外一点P.
求作:过点P的的切线.
作法:①连接;作的垂直平分线与交于点M;②以半径作 , 交于点A,B;③作直线;
所以直线为的切线.
请利用尺规作图补全小文的作图过程,并完成下面的证明.
证明:连接 .
∵为的直径,
∴ ▲ = ▲ ( )(填推理的依据).
∴
∵为半径,
∴直线为的切线.( )(填推理的依据).
根据小文设计的作图过程,完成下面的证明.
证明:连接 , .
∵ 为 的直径,
∴ =∠ ▲ = ▲ º
( ▲ )(填推理的依据).
∴ , ▲ .
∵ , 为 的半径,
∴直线 , 为 的切线( ▲ )(填推理的依据).
发现:
(1)若干平面上三点能够确定一个圆,那么这三点所满足的条件.
(2)我们判断四个点A,B,C,D(任意其中个三点不共线)是否在同一圆上时,一般地,先作过A,B,C三点的圆,然后判断点D是否在这个圆上,如果在,则这四个点共圆,如果不在,则不存在同时过这四个点的圆.
思考:
(1)如图1,∠ACB=∠ADB=90°,那么点A,B,C,D四点在不在同一个圆上;
(2)如图2,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°),(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?芳芳已经证明了点D不在圆内(如图所示),只要能够证明点D也不再圆外,就可以判断点D一定在圆上了,请你完成证明过程.
芳芳的证明过程:
如图3,过A,B,C三点作圆,圆心为O.假设点D在⊙O内,设AD的延长线交⊙O于点P,连接BP.易得∠APB=∠ACB.又由∠ADB是△BPD的外交,得到∠ADB>∠APB,因此∠ADB>∠ACB,这个结论与条件中的∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D不在圆内.
应用:
如图4,在四边形ABCD中,连接AC,BD,∠CAD=∠CBD=90°,点P在CA的延长线上,连接DP.若∠ADP=∠ABD.求证:DP为Rt△ACD的外接圆的切线.
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“一中同长也.”.意思说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:如图①,AB与⊙O相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.
如图②,AB与⊙O相切于点A , 当圆心O在∠BAC的内部时,过点A作直径AD交⊙O于点D , 在上任取一点E , 连接EC , ED , EA , 则∠CED=∠CAD.
任务:
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明:如图2,在上截取 , 连接和.
∵M是的中点,
∴
任务:
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题,其中有这样一个问题:如图1,和是的两条弦(即折线是圆的一条折弦), , 是的中点,则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点,即 . 其部分证明过程如下: 证明:如图2,在上截取 , 连接 , , 和 . ∵是的中点, ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , …… |
任务:
九年级学生小刚喜欢看书,他在学习了圆后,在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),下面是书上的证明过程,请仔细阅读,并完成相应的任务.
圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等. 已知:如图1,的两弦相交于点P. 求证: . 证明: 如图1,连接 . ∵ , . ∴ , (根据) ∴@, ∴ , ∴两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等. |
任务:
根据:;@:.
阿基米德折弦定理
阿基米德(Arehimedes,公元前287—公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni(973年—1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德的折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦), , M是的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即 .
这个定理有很多证明方法,下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程.
证明:如图2,过点M作射线AB,垂足为点H,连接MA,MB,MC.
∵M是的中点,
∴ .
…
任务:
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元212年,古希腊是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni(973年-1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德的折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1, 和 是 的两条弦(即折线 是圆的一条折弦), , 是 的中点,则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点,即 ,
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程.
证明:如图2,延长 到点F,使得 ,连接DA,DB,DC和DF.
∵ 是 的中点
∴
…
任务:
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹,不写作法);
②设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R.
已知:点A在上.
求作:的切线 .
作法: ①作射线;
②以点A为圆心,适当长为半径作弧,交射线于点C和点D;
③分别以点C,D为圆心,大于长为半径作弧,两弧交点B;
④作直线 .
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程,解决下面的问题:
证明:连接 , .
由作图可知,
, ▲ .
∴ ▲ .
∵ 点A在上,
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) .
已知:如图1, .
求作:等边 , 使得等边内接于 .
作法:
①如图2,作半径;
②以M为圆心,长为半径作弧,交于点A,B,连接;
③以B为圆心,长为半径作弧,交于点C;
④连接 , .
∴就是所求作的等边三角形.
根据上述尺规作图的过程,回答以下问题:
证明:连接 , , , .
由作图可知 ,
∴ , 是等边三角形.
∴ ▲ .
∴ .
∵ ,
∴ . ( )(填推理的依据)
∵ ,
∴是等边三角形.
已知:如图,⊙O.
求作:⊙O的内接正方形.
作法:① 作⊙O的直径AB;
② 分别以点A,B为圆心,大于AB同样长为半径作弧,两弧交于M,N;
③ 作直线MN交⊙O于点C,D;
④ 连接AC,BC,AD,BD.
∴ 四边形ACBD就是所求作的正方形.
根据小明设计的尺规作图过程,
证明:∵ MN是AB的 ▲ ,
∴ ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°.
∴ AC = BC = BD = AD.( )(填推理依据)
∴ 四边形ACBD是菱形.
又∵AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB = 90°.( )(填推理依据)
∴ 四边形ACBD是正方形.
已知:点A在上.
求作:直线PA和相切.
作法:如图,
①连接AO;
②以A为圆心,AO长为半径作弧,与的一个交点为B;
③连接BO;
④以B为圆心,BO长为半径作圆;
⑤作的直径OP;
⑥作直线PA.
所以直线PA就是所求作的的切线.
根据小亮设计的尺规作图过程,
证明:在中,连接BA.
∵ , ,
∴ .
∴点A在上.
∵OP是的直径,
∴( ▲ )(填推理的依据).
∴ .
又∵点A在上,
∴PA是的切线( ▲ )(填推理的依据).
已知:如图,⊙O及⊙O上一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:如图,作射线OP;
① 在直线OP外任取一点A,以A为圆心,AP为半径作⊙A,与射线OP交于另一点B;
②连接并延长BA与⊙A交于点C;
③作直线PC;
则直线PC即为所求.根据小元设计的尺规作图过程,
证明:∵ BC是⊙A的直径,
∴ ∠BPC=90°(填推理依据).
∴ OP⊥PC.
又∵ OP是⊙O的半径,
∴ PC是⊙O的切线(填推理依据).
已知:⊙O
求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其对角线AC,BD的夹角为60°.
作法:如图
①作⊙O的直径AC;
②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B;
③连接BO并延长交⊙O于点D;
所以四边形ABCD就是所求作的矩形.
根据小东设计的尺规作图过程,
证明:∵点A,C都在⊙O上,
∴OA=OC
同理OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°( )(填推理的依据)
∴四边形ABCD是矩形
∵AB= ▲ =BO,
∴四边形ABCD四所求作的矩形.
尺规作图:过圆外一点作圆的切线.
已知: 为 外一点.
求作:经过点 的 的切线.
小敏的作法如下:
①连接 ,作线段 的垂直平分线 交 于点 ;
②以点 为圆心, 的长为半径作圆,交 于 两点;
③作直线 .所以直线 就是所求作的切线.
根据小敏设计的尺规作图过程.
证明:由作图可知点 在以 为圆心, 为半径的圆上,
▲ .( )(填推理的依据)
为 的半径
直线 是 的切线,( )(填推理的依据)
已知:在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC交AC于点D.
求作:∠BPC,使∠BPC=∠BAC.
作法:① 分别以点B和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点E和点F,
连接EF交BD于点O;
② 以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O;
③ 在劣弧AB上任取一点P(不与点A、B重合),连接BP和CP.所以∠BPC=∠BAC.
根据小玟设计的尺规作图过程.
证明:连接OA、OC.
∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC且AD=CD.
∴OA=OC.
∵EF是线段BC的垂直平分线,
∴OB= ▲ .
∴OB=OA.
∴⊙O为△ABC的外接圆.
∵点P在⊙O上,
∴∠BPC=∠BAC( ▲ )(填推理的依据).
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知:中,所对的圆周角为 , 圆心角为 . 求证: . | ||
证明: | ||
情况一(如图1): 点在的一边上. . , . 即 . | 情况二(如图2): 点在的内部. | 情况三(如图3): 点在的外部. |