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浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题

更新时间：2021-05-20 浏览次数：1242 类型：二轮复习

一、浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题解答题

1. (2019·雁塔模拟) 如图，△BCD内接于⊙O，直径AB经过弦CD的中点M，AE交BC的延长线于点E，连接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．
1. （1）求证：△BCD是等边三角形；
2. （2）求证：AE是⊙O的切线；
3. （3）若CE＝2，求⊙O的半径．
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2. 如图
1. （1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．
2. （2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．
3. （3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、……、a_n ，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）
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3. 在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运功．设运动时间为t秒．回答下列问题：
1. （1）如图1，几秒后△APQ的面积等于20cm² ．
2. （2）如图1，在运动过程中，若以Q为圆心，DQ为半径的⊙Q与AC相切，求t值．
3. （3）如图2，若以P为圆心，PQ为半径作⊙P．
  ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙P正好与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
  
  ②若⊙P与四边形BCQP至多有两个共公点，请直接写出t的取值范围．
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4. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
1. （1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为．
2. （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
3. （3）连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．
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5. 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
1. （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有．
2. （2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD
  ①证明：四边形ABCD是“十字形”；
  
  ②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．
3. （3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．
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6. 如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．
1. （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
2. （2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O于点E）；
3. （3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13 $\text{[math]}$ ，直接写出AP的长．
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7. 如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝4，CD＝16．
1. （1）求圆O的半径r的长度；
2. （2）求tan∠CMD；
3. （3）如图2，直径BM交直线CD于点E，直线MH交圆O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．
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8. 如图
1. （1）问题提出：如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为．
2. （2）问题探究：如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
3. （3）问题解决：如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求此时AP的值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．
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9. 如图1，AB是⊙O的直径，点C是平圆上的任意一点，连结AC，BC，过点B作O的切线交AC的延长线于点D，取DB中点G，在BG上截取BE＝ $\text{[math]}$ BG，连结AE交BC于点F．
1. （1）当∠CGB＝60°时，求弧 $\text{[math]}$ 的度数．
2. （2）当AE∥CG时，连结GF，请判断四边形AFGC的形状，并说明理由．
3. （3）如图2，设AE交⊙O于点H，连结BH，CH，若AB＝6．
  ①点C在整个运动过程中，当AC与△BCH中的一边相等时，求出所有满足条件的BE的长．
  
  ②作点H关于BC的对称点H′，当点H′恰好落在AB上时，求△ACH′和△BHH′的面积之比（请直接写出答案）
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10. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是弧AC上的一点，连接AD、BD，AC交BD于点F，DE⊥AB于点E，交AC于点P，∠ABD＝∠CBD＝∠CAD．
1. （1）求证：PA＝PD；
2. （2）判断AP与PF是否相等，并说明理由；
3. （3）当点C为半圆弧的中点，请写出BF与AD的关系式．并说明理由．
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11. 问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是 $\text{[math]}$ 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG

∵M是 $\text{[math]}$ 的中点，

∴MA＝MC

……
1. （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
2. （2）实践应用：
  ①如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是 $\text{[math]}$ 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；
  
  ②如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为 $\text{[math]}$ 上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4 $\text{[math]}$ +2，BC＝2，请求出AC的长．
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12. 已知A、B、C三点不在同一直线上．
1. （1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
  ①如图①，当∠A＝135°时，求∠BOC的度数；
  
  ②如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝ $\text{[math]}$ ；
2. （2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）上滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．
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13. 如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
1. （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
2. （2）求证：AG²＝AF•AB；
3. （3）求若⊙O的直径为10，AC＝2 $\text{[math]}$ ，求AE的长．
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14. 阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：

下面是该定理的证明过程．

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O．

求证：AB•DC+AD•BC＝AC•BD

证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，

∵ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴△ABE∽△ACD，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AB•DC＝AC•BE，

∵ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，

∴∠ACB＝∠ADE．（）※

∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，

∴△ABC∽△AED，

∵AD•BC＝AC•ED，

∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．
1. （1）托勒密定理的逆命题是．
2. （2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上．
3. （3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
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15. 如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，PA是⊙O的切线，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
1. （1）求证：∠PAC＝∠PBA；
2. （2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝8，AF：FD＝1：3，GF＝1
  ①求CF的长；
  
  ②求cos∠ACE的值．
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16. 如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 $\text{[math]}$ 上的动点，且cos∠ABC＝ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求AB的长度；
2. （2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；
3. （3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．
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17. (2022·广汉模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
1. （1）求证：BC是⊙O的切线；
2. （2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
3. （3）若BE＝8，sinB＝ $\text{[math]}$ ，求DG的长，
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18. 如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连结BD，设AP＝m．
1. （1）求证：∠BDP＝90°．
2. （2）若m＝4，求BE的长．
3. （3）在点P的整个运动过程中．
  ①当AF＝3CF时，求出所有符合条件的m的值．
  
  ②当tan∠DBE＝ $\text{[math]}$ 时，直接写出△CDP与△BDP面积比．
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19. 已知：点C为⊙O的直径AB上一动点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，连接AD、BD，∠DBA的角平分线交⊙O于点F．
1. （1）若DF＝BD，求证：GD＝GB；
2. （2）若AB＝2cm，在（1）的条件下，求DG的值；
3. （3）若∠ADB的角平分线DM交⊙O于点M，交AB于点N．当点C与点O重合时， $\text{[math]}$ ＝；据此猜想，当点C在AB（不含端点）运动过程中， $\text{[math]}$ 的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
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20. 如图（1），AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
1. （1）求证：∠DAC＝∠BAC；
2. （2）若AD和⊙O相切于点A，AD的长为（直接写出答案）；
3. （3）若把直线EF向上平移，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在？若存在，找出相等的角并说明理由；若不存在，请说明理由．
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21. 如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证：AC是⊙O的切线；
2. （2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；
3. （3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝ $\text{[math]}$ ，CG＝4，求OP的长．
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22. 定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
1. （1）矩形“等垂四边形”（填“是”或“不是”）；
2. （2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；
3. （3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．
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23. (2020九上·福州期中) 已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
1. （1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
2. （2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝ $\text{[math]}$ DA；
3. （3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．
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24. 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
1. （1）若点E是 $\text{[math]}$ 的中点，求∠F的度数；
2. （2）求证：BE＝2OC；
3. （3）设AC＝x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？
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25. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
1. （1）求证：AC平分∠DAB；
2. （2）求证：PC＝PF；
3. （3）若tan∠ABC＝ $\text{[math]}$ ，AB＝14，求线段PC的长．
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26. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程x² $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （m²﹣10m+225）＝0的两个实数根．
1. （1）求m的值；
2. （2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由；
3. （3）若CD＝7 $\text{[math]}$ ，求AC、BC的长．
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27. 如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是 $\text{[math]}$ 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
1. （1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
2. （2）当点C在 $\text{[math]}$ 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
3. （3）若CD＝x，直接写出CD²+3CH²的结果．
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28. 如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．
1. （1）求点C的坐标；
2. （2）当∠BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；
3. （3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
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29. 如图
1. （1）如图①，∠ACB＝∠ADB＝90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上吗？若在请画出经过A，B，C，D的圆（不写画法，保留画痕），若不在，请说明理由．
2. （2）如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝α（α≠90°）（点C，D在AB的同侧），猜想：点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？（只写出你的猜想，不需证明．）
3. （3）若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD＝90°，点E在边AB上，CE⊥DE．
  （i）作∠ADF＝∠AED，交CA的延长线于点F（如图③），求证：DF为 Rt△ACD的外接圆的切线．
  
  （ii）如图④，点G在BC的延长线上，∠BGE＝∠BAC，已知sin∠AED＝ $\text{[math]}$ ，AD＝1，求DG的长．．
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30. 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为 $\text{[math]}$ cm，AC＝8cm，设运动时间为t秒．
1. （1）求证：NQ＝MQ；
2. （2）填空：
  ①当t＝时，四边形AMQN为菱形；
  
  ②当t＝时，NQ与⊙O相切．
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31. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．
1. （1） ①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G₁为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G₁的距离跨度：
  A（1，0）的距离跨度；
  
  B（﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的距离跨度；
  
  C（﹣3，﹣2）的距离跨度；
  
  ②根据①中的结果，猜想到图形G₁的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．
2. （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G₂为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G₂的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
3. （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y＝ $\text{[math]}$ x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标x_E的取值范围．
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32. 如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．
1. （1）如图1，求证：△AED≌△CDB；
2. （2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．
  i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．
  
  ii）若DG＝ $\text{[math]}$ ，求⊙O的周长（结果保留π）
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33. 如图

【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②同弧所对的圆周角相等．

【初步体验】如图，已知△ABC，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．
1. （1）在图①中AC边上找点D，使DB+DC＝AC；
2. （2）在图②中作△BCE，使∠BEC＝∠BAC，CE＝BE．
3. （3）【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
  如图③，已知线段a和等边△ABC，作△BCM，使∠BMC＝∠BAC，BM+CM＝a．
  
  他的做法是：
  
  1画△ABC的外接圆；
  
  2以A为圆心、AB长为半径画⊙A；
  
  3以C为圆心、a为半径画弧与⊙A交于点F；
  
  4连接CF与△ABC的外接圆交于点M，则△BCM是要画的三角形．
  
  请你给出证明，并直接写出这样的点M有个．
4. （4）请你仿照小明的做法解决下面的问题：
  如图④，已知线段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC＝∠BAC，BN﹣CN＝b．
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34. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，过点A、D作⊙O，⊙O与AB交于点E，AE是⊙O的直径，AD是⊙O的一条弦，且∠A+∠CDB＝90°，AD：AE＝4：5，BC＝6．
1. （1）求证：直线BD与⊙O相切；
2. （2）下面是根据题中条件求直径AE长的过程，阅读后请按要求解决下列问题：
  解法1．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°＝∠C，∴DE∥BC
  
  又∵D是AC的中点，∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴E是AB的中点，∴DE＝ $\text{[math]}$ BC＝3．
  
  在Rt△ADE中，设AD＝4x，AE＝5x，∴（4x）²+3²＝（5x）² ，
  
  解之得：x₁＝1，x₂＝﹣1（舍去），∴AE＝5x＝5，即⊙O的直径为5．
  
  解法2．∵∠A+∠CDB＝90°，又∵∠A+∠CBA＝90°，∴∠CDB＝∠CBA，∠C＝∠C，
  
  ∴△DCB∽△BCA，∴ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴BC²＝DC•AC，又∵AC＝2DC＝2AD，∴BC²＝AD•2AD，
  
  AD＝ $\text{[math]}$ AE，6²＝2×（ $\text{[math]}$ AE）² ， AE＝ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  
  以上两种解法结果不同，那么问题出在哪里呢？
  
  ①下列说法正确的是。
  
  A．解法1有错 B．解法2有错 C．解法1、2都有错
  
  D．解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE＝4：5”是多余的
  
  ②在①中若你选择的是A、B、C中一个，请说明错在哪里？若你选的是D，请删去“AD；AE＝4：5”这个条件，求出⊙O的直径．
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35. 已知：△ABC内接于⊙O，直径AM平分∠BAC．
1. （1）如图1，求证AB＝AC；
2. （2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE＝BD，当∠ADE+∠DEC＝90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD⊥AB，求证：∠NDC＝∠ACB；
3. （3）在（2）的条件下，若DE长为 $\text{[math]}$ ，求△ACH的面积．
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36. 如图，在⊙O中，直径AB＝4，点C在⊙O上，且∠AOC＝60°，连接BC，点P在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交 $\text{[math]}$ 于点Q．
1. （1）求BC的长；
2. （2）当PQ∥AB时，求PQ的长；
3. （3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．
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37. 已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB＝AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．
1. （1）如图1，求证：∠B＝∠C；
2. （2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE＝6，CH＝7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和 $\text{[math]}$ 的值．
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38. 如图，半圆O的直径MN＝6cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝4cm．
1. （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
2. （2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
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39. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax²﹣bx﹣c＝0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：
1. （1） “△ABC的☆方程”ax²﹣bx﹣c＝0的根的情况是（填序号）；
  ①有两个相等的实数根； ②有两个不相等的实数根； ③没有实数根．
2. （2）如图，AC为⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，∠ADC的平分线交⊙O于点B，求“△ABC的☆方程”ax²﹣bx﹣c＝0的解；
3. （3）若x＝﹣ $\text{[math]}$ c是“△ABC的☆方程”ax²﹣bx﹣c＝0的一个根，其中a，b，c均为正整数，且ac﹣4b＜0，求①求b的值；②求“△ABC的☆方程”的另一个根．
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40. 探究与应用．试完成下列问题：
1. （1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，作∠POQ＝90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²＝PQ²；
2. （2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ＝90°，试探索上述结论AP²+BQ²＝PQ²是否仍成立；
3. （3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．
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