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2024年中考数学精选压轴题之二次函数(二)

更新时间：2024-05-13 浏览次数：59 类型：三轮冲刺

一、综合题

1. (2024·临沂一模) 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为 $\text{[math]}$ 的抛物线经过 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴负半轴于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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2. (2024·仁和模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最大时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
3. （3）如图2，在（2）的条件下，D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $\text{[math]}$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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3. (2024九下·自贡月考) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
1. （1）求a的值和直线AB的解析式；
2. （2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁=4S₂ ，求m的值；
3. （3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱ $\text{[math]}$ 周长取最大值时，求点G的坐标．
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4. (2024·成都模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴，y轴于A ， C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线 $\text{[math]}$ 过A ， B ， C三点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）过点B作 $\text{[math]}$ 交y轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一动点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及最大值时点P的坐标；
3. （3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线 $\text{[math]}$ 与新抛物线交于O ， G两点，点H是线段 $\text{[math]}$ 的中点，过H作直线 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ 重合）与新抛物线交于R ， Q两点，点R在点Q左侧．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点T ，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
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5. (2024·剑阁模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A(-1，0)， B(3，0)两点，交y轴于点 C.
1. （1）求二次函数解析式；
2. （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点 D，使得 $\text{[math]}$ ，求点 D 的坐标；
3. （3）如图2，平面上一点 E(3，2)，过点E 作任意一条直线交抛物线于 P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
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6. (2024九下·隆昌月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A（ $\text{[math]}$ ， 0）和点B（4，0），与y轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ， BC ， BC与抛物线的对称轴l交于点E
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ， PC ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
3. （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M ，使得以点M ， N ， E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
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7. (2024九下·麻城期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点Q作 $\text{[math]}$ 垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ．设矩形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为m ．
1. （1）求这条抛物线所对应函数表达式．
2. （2）求这条抛物线的对称轴将矩形 $\text{[math]}$ 的面积分为1：2 两部分时m的值．
3. （3） ①求d与m之间的函数关系式，
  ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
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8. (2024·阳新) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A、B两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，线段CE的长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）如图3，点 $\text{[math]}$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接AD交BP于点 $\text{[math]}$ ，连接MN，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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9. (2024九下·岳池月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数解析式．
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．
3. （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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10. (2024九下·文山月考) 已知抛物线y＝ax²+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B ，与y轴交于点C ，点P为第二象限内抛物线上的动点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，连接OP交BC于点D ，当S_△_CPD：S_△_BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
3. （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE ，若∠PEG＝2∠OGE ，请求出点P的坐标；
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11. (2024九下·花溪月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
1. （1）求抛物线和直线l的函数表达式.
2. （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
  ①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
  ②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
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12. (2024·德阳模拟) 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）．
1. （1）如图1，将抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A^'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
2. （2）如图2，抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P ， C两点，与图象“G”交于点D ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求证：PC＝CD；
  ②当a≠1时，请用合适的式子表示 $\text{[math]}$ （直接写结果）．
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13. (2024·珠海模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点， $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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14. (2024九下·阳新月考) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A、B两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为，线段 $\text{[math]}$ 的长为d ，求d与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
3. （3）如图3，点 $\text{[math]}$ 是第三象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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15. (2024·新邵模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是对称轴.
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
2. （2）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
3. （3） $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线 $\text{[math]}$ 右侧，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心、作半径为 $\text{[math]}$ 的圆， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围.
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16. (2024九下·广州月考) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 $\text{[math]}$ 的坐标值：

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为F， $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 相交于点E.试问：线段 $\text{[math]}$ 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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17. (2024九下·广水月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）如图1，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）如图2，取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 点坐标．
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18. (2024九下·荆州月考) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点B、点C ，经过B ， C两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的另一个交点为A ，顶点为P ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以C ， P ， Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
3. （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线 $\text{[math]}$ 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值。
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19. (2024·孝南模拟) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，连接BC ，抛物线顶点为点M ．
1. （1）直接写出a ， b的值及点M的坐标；
2. （2）点N为抛物线对称轴上一点，当 $\text{[math]}$ 最小时，求点N的坐标；
3. （3）平移直线BC得直线 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，若直线 $\text{[math]}$ 过点M ，交x轴于点D ，在x轴上取点 $\text{[math]}$ ，连接EM ，求∠DME的度数．
  ②把抛物线 $\text{[math]}$ 在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线 $\text{[math]}$ 与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
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20. (2024·随州模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，于 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第一象限抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．
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21. (2024·南充模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－3)．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D ，求PD的最大值及此时点P的坐标；
3. （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点(点M不与B重合)，过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. (2024·霞山模拟) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝ $\text{[math]}$ ，设点F（m ， 0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
1. （1）求抛物线C的函数表达式；
2. （2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
  ①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
  ②求m的取值范围；
3. （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
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23. (2024九下·惠阳月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；
2. （2）在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
3. （3）以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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24. (2024·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限的拋物线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求拋物线表达式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在平面内，若 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
  ①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②设射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周，旋转后的三角形记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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