立体几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）-在线组卷

1. (2022·新高考Ⅱ卷) 如图， $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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2. (2022·全国乙卷) 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E为AC的中点．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面ACD；
（2）设 $\text{[math]}$ ，点F在BD上，当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

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3. (2022·全国甲卷) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求PD与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．

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4. (2022·全国甲卷) 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $\text{[math]}$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $\text{[math]}$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

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5. (2022·全国乙卷) 如图，四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．

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6. (2022·北京) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（I）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值。

条件①： $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

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7. (2022·新高考Ⅰ卷) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为4， $\text{[math]}$ '的面积为 $\text{[math]}$

（1）求A到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
（2）设D为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

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8. (2023高二下·玉林期中) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形，若 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值．

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9. (2021·北京) 已知正方体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，直线 $\text{[math]}$ 交平面 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
（2）若点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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10. (2021·浙江) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ，M ， N分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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11. (2021·全国乙卷) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $\text{[math]}$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $\text{[math]}$ AM.

（1）证明：平面PAM $\text{[math]}$ 平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.

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12. (2021·全国甲卷) 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形． $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．

（1）求三棱锥F－EBC的体积；
（2）已知 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，证明： $\text{[math]}$ ．

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13. (2021·全国甲卷) 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

（1）证明：BF⊥DE；
（2）当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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14. (2021·全国乙卷) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

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15. (2021·天津) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正正弦值．
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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16. (2021·新高考Ⅰ) 如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.

（1）证明：OA⊥CD：
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

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17. (2020·新课标Ⅲ·理) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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18. (2024高三下·吉首模拟) 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；
（2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

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19. (2020·新课标Ⅰ·理) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， $\text{[math]}$ 为底面直径， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是底面的内接正三角形，P为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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20. (2020·新高考Ⅱ) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

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21. (2021高二上·辽宁月考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 和棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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22. (2020·江苏) 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\text{[math]}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= $\text{[math]}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

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23. (2020·江苏) 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB₁C₁；
（2）求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁ ．

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24. (2021高三上·哈尔滨月考) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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25. (2022高一下·伊犁期末) 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．

求证：

（1） A₁B₁∥平面DEC₁；
（2） BE⊥C₁E ．

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26. (2019·浙江) 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁ ，平面A₁AC₁C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点

（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值.

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27. (2019·天津) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（Ⅰ）设 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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28. (2020高二下·庐江期末) 如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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29. (2019·全国Ⅲ卷理) 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

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30. (2020高二上·茂名期末) 如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；
（2）若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

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31. (2019·北京) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.

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32. (2019·全国Ⅰ卷理) 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $\text{[math]}$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点

（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A-MA₁-N的正弦值。

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33. (2018·全国Ⅰ卷理) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为折痕把 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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34. (2020·上海模拟) 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= $\text{[math]}$ ，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

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35. (2018·全国Ⅱ卷理) 如图，在三角锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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36. (2018·全国Ⅲ卷理) 如图，边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 所在平面与半圆弧 $\text{[math]}$ 所在平面垂直， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的点。

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。

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37. (2018·北京) 如图，在三菱柱ABC- $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABC。 D，E，F，G分别为 $\text{[math]}$ ，AC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，AB=BC= $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ =2。

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF：

（Ⅱ）求二面角B-CD- $\text{[math]}$ ₁的余弦值：

（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。

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