压轴题13 导数及其应用（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）-在线组卷

1. (2023·绍兴模拟) 设函数 $\text{[math]}$ .

（1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（2）记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 有且仅有2个零点，求 $\text{[math]}$ 的值.

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2. (2023·台州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底， $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；
（2）若对任意正实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 均有三个零点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，并证明 $\text{[math]}$ .

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3. (2024高二下·长宁期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .（其中 $\text{[math]}$ 为常数）

（1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，试讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数，并说明理由.

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4. (2023·闵行模拟) 如果曲线 $\text{[math]}$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $\text{[math]}$ 是“正交函数”．已知 $\text{[math]}$ ，设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，是否存在直线 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切？请说明理由；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，如果函数 $\text{[math]}$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $\text{[math]}$ 的集合 $\text{[math]}$ ；若对任意 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 都不存在与 $\text{[math]}$ 垂直的切线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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5. (2023·浦东模拟) 设 $\text{[math]}$ 是坐标平面 $\text{[math]}$ 上的一点，曲线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像．若过点 $\text{[math]}$ 恰能作曲线 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 条切线（ $\text{[math]}$ ），则称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 度点”．

（1）判断点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是否为函数 $\text{[math]}$ 的1度点，不需要说明理由；
（2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明：点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的0度点；
（3）求函数 $\text{[math]}$ 的全体2度点构成的集合．

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6. (2023·宜宾模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数；
（2）若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对于任意的 $\text{[math]}$ 成立，求最大的整数 $\text{[math]}$ 的值．

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7. (2023·遂宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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8. (2023·崇明模拟) 已知定义域为D的函数 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ，满足对任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程 $\text{[math]}$ 至多只有一个实根；
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．

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9. (2023·深圳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点，求实数a的取值范围.

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10. (2023·蚌埠模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 存在两条公切线，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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11. (2023·安庆模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ .

（1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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12. (2023·宣城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
（2）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三下·江门月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的极值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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14. (2023·赣州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， e为自然对数的底数）.

（1）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的极小值为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域.

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15. (2023·南通模拟) 设连续正值函数 $\text{[math]}$ 定义在区间 $\text{[math]}$ 上，如果对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“几何上凸函数”．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“几何上凸函数”，并说明理由．

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16. (2023·鞍山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（2）若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求a的取值范围．

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17. (2023·邯郸模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

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18. (2023·唐山模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，证明：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ ．

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19. (2023·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）设方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的根从小到大依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， …，求证： $\text{[math]}$ ．

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20. (2023·株洲模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求a的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

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21. (2023·张家界模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1） $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最值；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 恰有两个不同的零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. (2023·铜川模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求 $\text{[math]}$ 的值及函数的单调区间；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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23. (2023·临高模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个极值点且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值；
（2）已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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24. (2023·江门模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处的切线过点 $\text{[math]}$ ，求a的值；
（2）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 有3个零点，且3个零点之积为定值.

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25. (2023·山西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）判断 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 有唯一零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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26. (2023·安康模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数）

（1）当 $\text{[math]}$ 时，恰好存在一条过原点的直线与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都相切，求b的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ），求证： $\text{[math]}$ ．

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27. (2023·商洛模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数．

（1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域；
（2）函数 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 有且仅有两个零点．

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28. (2023·咸阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的零点；
（2）对于任意的 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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29. (2023·安丘模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 极值点的个数；
（2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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30. (2023·模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）若a＝1，b＝2，试分析 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的单调性与极值；
（2）当a＝b＝1时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的零点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ .